考点21数列的通项公式【考纲要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．【命题规律】数列的通项公式是高考题必考的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会与通项公式有关的问题.【典型高考试题变式】（一）由与的关系求通项(高频考点)例1.【2022新课标卷】若数列的前项和，则的通项公式是____.【名师点晴】已知Sn求an的三个步骤：①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．③对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．8\n【变式1】【改变条件】若数列的前项和为，则数列_______．【答案】【解析】当时，，又时，,所以数列．【变式2】【改变条件】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.则数列{an}的通项公式为.【答案】【解析】当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以．（二）由递推公式求数列的通项公式例2.【2022江苏卷】数列满足，且（），则数列的前10项和为.【答案】【解析】由题意得：，所以.【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.【变式1】【改变递推关系】设数列满足，.则.【答案】【解析】由已知，当时，8\n.而，也满足上式，所以数列的通项公式为.【变式2】【改变递推关系】在数列中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．则.【解析】当n≥2，n∈N*时，an＝1×××…×××＝n，当n＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为an＝n.【数学思想】①转化与化归思想.常见方法是累加法或累乘法转化.②分类讨论思想.对分类讨论，有时用分段函数表示．【温馨提示】1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．an与Sn的关系an＝.【典例试题演练】1.【河南省许平汝2022-2022学年高二上学期第一次联考】在数列中，，则（）A.2B.3C.4D.6【答案】C8\n【解析】由递推公式可得当时，；当时，.故选C.2.【2022河北省衡水中学高三摸底联考】已知数列中，为其前项和，的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件可得，所以，故选A.3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为( )A.2＋lgnB.2＋(n－1)lgnC.2＋nlgnD.1＋nlgn【答案】A4.【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学联考】已知数列满足，则（）A.1024B.1023C.2048D.2047【答案】B【解析】an+1=an+2n；所以an+1−an=2n；所以(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a10−a9)=2+22+…+29==1022；所以a10−a1=a10−1=1022；所以a10=1023.故选B.8\n5.数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )A．5B.C.D.【答案】B【解析】因为an＋an＋1＝，a2＝2，所以an＝所以S21＝11×＋10×2＝.故选B.6.已知数列{an}的前n项和为Sn＝kn2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)【答案】A【解析】由Sn＝kn2得an＝k(2n－1)．因为an＋1＞an，所以数列{an}是递增的，因此k＞0，故选A.7.已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]【答案】B【解析】数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4.8.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )A．256 B．510C．512D．1024【答案】C【解析】在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故选C.9..若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.【答案】8\n10.若数列{an}的通项公式为an＝|3n－19|，数列{an}的最小项是________.【答案】第6项【解析】an＝数列{an}具有性质a1＞a2＞…＞a6，而a7＜a8＜a9＜…，由于a6＝1，a7＝2，所以数列的第6项最小，其最小值为1.11.【2022届吉林省百校联盟高三九月联考】设为数列的前项和，，若（），则__________．【答案】【解析】当为奇数时，，则，，，，当为偶数时，，则，，，，又，所以．12.数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.【答案】【解析】a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.13.【2022届湖南省永州市模拟】已知数列中，，，，若数列单调递增，则实数的取值范围为__________．8\n【答案】14.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．【解析】因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝.当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.15.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．（2）an＝1＋＝1＋.8\n因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5<<6，所以－10<a<－8.故a的取值范围为(－10，－8)．8
