考点十二：导数与函数的极值与最值【考纲要求】（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.预计2022年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）函数的极值的意义例1.【2022全国2卷（理）】若是函数的极值点，则的极小值为（）.A.B.C.D.1【答案】A【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数在处取极值的充要条件应为（1），（2）在左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2022陕西卷理科】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上26\n【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2022全国2卷理科】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C（二）求函数的极值例2.【2022全国2卷理】已知函数，且.（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）因为，，所以．26\n令，则，，当时，，单调递减，但，时，；当时，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则在上单递调递减，；若，则在上单调递增，；若，则，．综上，．（2），，．令，则，．令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．因为，，，，所以在和上，即各有一个零点．设在和上的零点分别为，因为在上单调递减，所以当时，，单调增；当时，，单调递减．因此，是的极大值点．因为，在上单调增，所以当时，，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点．所以有唯一的极大值点．由前面的证明可知，，则．26\n因为，所以，又，因为，所以．因此，．即.【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数；③解方程，求出的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2022江苏卷】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1），定义域为；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.26\n列表如下x+0–0+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而.记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.26\n因为，于是，故.因此的取值范围为.【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2022山东理】已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【解析】（1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意得，因为26\n，令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，，当时，.（i）当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是；（ii）当时，由得，①当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，所以当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；26\n所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2022山东文】设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（2）.26\n（2）由（1）知，.①当时，单调递增.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.②当时，，由（1）知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.④当时，即，当时，，单调递增,26\n当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数的取值范围为.【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2022天津文】设函数，，其中.（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求证：；（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】答案见解析【解析】（1）由，可得，下面分两种情况讨论：①当时，有恒成立，所以在上单调递增.②当时，令，解得或.当变化时，，的变化情况如表所示.0↗极大值↘极小值↗所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.26\n（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当时，由知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以②当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，所以.26\n③当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.（三）求不含参函数的最值例3.【2022北京卷理】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）在区间上的最大值为，最小值为.【解析】（1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.26\n所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【方法技巧归纳】在上连续的函数在上必有最大值与最小值的步骤：①讨论单调区间；②判断极值；③极值与闭区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值.【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2022河北石家庄二中八月模考】已知函数.（Ⅰ）当时，求的最大值与最小值；（Ⅱ）讨论方程的实根的个数.【答案】(1)最小值是,最大值是;(2)时，方程有1个实根；时，方程有3个实根.【解析】试题分析：(1),明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；（2）方程的实根的个数即的图象与x轴的交点个数，分类讨论函数的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，令得，的变化如下表：在上的最小值是，因为，26\n所以在上的最大值是.（ⅰ）当时，即时，没有实根，方程有1个实根；（ⅱ）当时，即时，有1个实根为零，方程有1个实根；（ⅲ）当时，即时，有2不等于零的实根，方程有3个实根.综上可得，时，方程有1个实根；时，方程有3个实根.（四）求含参函数的最值例4.【2022全国2卷理】（1）讨论函数的单调性，并证明当时，（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.【答案】答案见解析【解析】（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，.因为，所以.因为当时，，所以在上单调递增，所以当时，，所以.26\n（2）由已知得，，.解法一：记，因为，所以由（1）知在上存在唯一零点.记零点为，即，则在上单调递减，在上单调递增.故为的极小值，此时极小值为.因为，所以.所以.记,，则，所以在上单调递增，所以.解法二：由(1)知，当时，的值域为，只有一解，使得，.当时，，单调递减；当时，，单调递增...记，在时，，所以单调递增，所以．【方法技巧归纳】超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值.【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2022全国2卷文】26\n已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时,求的取值范围．【答案】（Ⅰ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2022安徽卷理】设函数,其中.26\n（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.【解析】试题分析：（1）对原函数进行求导，，令，解得，当或时；从而得出，当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2）依据第（1）题，对进行讨论，①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.（1）的定义域为，.令，得，所以.当或时；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.因为，所以.①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和26\n处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数的极值与最值问题注意点】对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较，将区间端区限定不动，变动零点位置.【典例试题演练】1．【2022广东广州珠海区高三检测（一）理】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A26\n2．【2022海南八校联盟开学考试理】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以由题设在只有一个零点且单调递减，则问题转化为，即，应选答案B。3．【2022湖南永州第一次模拟考试理】函数的值域为，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】排除法，当时，，，符合题意，排除选项C、D；当时，，由，得在上递增，由得在上递减，，即，，合题意，排除选项，故选B.4．【2022河北石家庄二中八月模考（文）】已知对，不等式26\n恒成立，则的最大值是()A.1B.C.D.【答案】C5．【2022“超级全能生”全国卷26省9月联考（文）】已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，由题意可得在有两个不等根，即，在有两个不等根，所以，解得，填6．【2022四川雅安中学高三第一次月考】设函数在R上存在导数,对任意的有,且在上.若,则实数的取值范围__________．【答案】【解析】令，所以，则为奇函数.时，，由奇函数性质知：在R上上递增.，则实数的取值范围是26\n7．【2022江西师大附中三模（文）】设是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为是函数的两个极值点，是的两个根，，，即，，设，则，则实数的取值范围是，故答案为.8.【2022山东枣庄三中二调考试理】对于函数,如果可导，且有实数根，则称是函数的驻点.若函数的驻点分别是，则的大小关系是__________．(用“”连接)【答案】【解析】因，故由；因，故由；因，故，令，因，故；应填答案。9．【2022广西柳州高三综合模拟（1）理】已知为实数，函数.（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；26\n（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1),(2).解析：（1）函数定义域为，.∵是函数的一个极值点，∴，解得.经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，∴.（2）由，得，记，∴，∴当时，，单调递减；当时，，单调递増.∴，∴，记，26\n∴.∵，∴，∴，∴时，，单调递减；时，，单调递增，∴，∴.故实数的取值范围为.10.【2022湖南永州上学期一模（理）】已知函数.（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；（2）求证：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点，令，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，由题知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，则a＝－6、－5、－4、－3，当a＝－6、－5、－4，显然符合题意，26\n若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去．故整数a的所有可能取值－6，―5，－4．（2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可变为(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7，令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7，g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)的最大值为g(2)＝e2，h′(x)＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2，g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7．11．【2022四川成都双流中学9月月考文】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）把的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间；（2）求出原函数的导函数，根据的不同取值范围对导函数的符号加以判断，只有当时,在上恒成立，，不等式恒成立，对于和都不能满足当时，恒成立，从而求得的值范围.试题解析：（1）的定义域为，时，令，∴在上单调递增；令，∴在上单调递减26\n综上，的单调递增区间为，递减区间为.（2）若，当时，，在上单调递增，，同Ⅰ），所以不符合题意（3）当时，在上恒成立.∴在递减，.从而在上递减，∴，即.结上所述，的取值范围是.12.【2022河北省馆陶县第一中学第一次月考理】设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：对函数求导，借助导数工具研究函数的单调性，求导后中含有参数，所以对26\n进行分类讨论，分情况说清楚函数的单调性；根据第一步对函数的单调性的研究可以发现函数的最大值为，根据题意需要满足，即，设，找出在恒成立的条件的范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，①当，即时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，i）当时，，函数单调递增，ii）当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当函数有最大值且最大值大于，，即，令，且在上单调递增，在上恒成立，故的取值范围为.26
