考点2命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大．【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1.【2022天津卷】设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．【变式1】【改变例题中的条件】设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，由得，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【变式2】【改变例题中的条件】设，则“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是.-9-\n【答案】或例2.【2022天津卷】设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】，但，不满足，所以是充分不必要条件，故选A.【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．【变式1】【改变例题的条件】设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】D【解析】，所以“”是“”的是即不充分也不必要条件，故选D.【变式2】【把例题中的“”与“”交换】设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件-9-\nC．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】，所以“”是“”的是充要条件，故选C.（二）充分条件与必要条件的运用例3.【2022全国卷】下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得；反之不成立，故选A.【名师点津】命题是的必要不充分条件且；命题的必要不充分条件是且.这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使成立的充要的条件是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得；反之也成立，故选C.（三）新定义问题例3.【2022湖北卷】若实数，满足，则称与互补，记，那么是与互补的（）-9-\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2022湖北卷】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即公比不一定为，则命题乙不成立，故选B.【变式2】【2022年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件-9-\nC．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【数学思想】与充分、必要条件有关的问题常用到等价思想、分类讨论思想.【处理充分条件、必要条件问题的注意点】（1）判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．（2）命题是的必要不充分条件且；命题的必要不充分条件是且.这两种说法有区别，不能混淆.（3）充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．②要注意区间端点值的检验．【典例试题演练】1.【2022江西4月质检】“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”可得：，即,必有，充分性成立；若“”未必有,必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要，故选A.2.【2022福建4月质检】已知集合，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件-9-\nC．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题得：，则成立，而且，所以前后互推都成立，故选C.3.【广东湛江市2022届高三上学期期中调研考试，4】已知是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B4.【河南省豫北名校联盟2022届高三年级精英对抗赛，4】设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】,,所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.5.【2022湖南邵阳联考】“”是“函数在区间无零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在区间无零点，则-9-\n故选A.6.【2022北京昌平模拟】已知直线和平面，满足.则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.7．【2022四川成都第七中学模拟】命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】B8.【2022河北武邑中学模拟】设向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“”,则,则或；若“”,则,即“”,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.9.【2022河北唐山期末】已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）-9-\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A10.【2022福建莆田第六中学模拟】“”是“直线的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.11．【2022山东济宁模拟】设，“，，为等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，，为等比数列，因此，，为等比数列，所以“，，为等比数列”是“”的必要不充分条件，故选B.12．【2022江西南昌模拟】已知均为第一象限的角，那么是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】D-9-\n【解析】均为第一象限的角，满足，但，因此不充分；均为第一象限的角，满足，但，因此不必要；所以选D.13．【2022江西南昌模拟考】是恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】设成立；反之，，故选A.14.【2022山东枣庄期末】设，函数，则恒成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A15．【2022天津河东区二模】若，直线,圆.命题直线与圆相交；命题.则是的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，即得，可得，此时不一定成立（可能为负数），若，可得，即，所以是的必要不充分条件，故选B.-9-
