专题五 数列、推理与证明、不等式时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856075)(2022·九江调研)等差数列{an}中，a3＝－5，a7＝1，则a11等于( )A．6B．7C．8D．92．(导学号：05856076)(2022·龙岩质检)设a，b∈R且a＞b，则下列命题正确的是( )A．a2＞b2B.＞1C．log2(a－b)＞0D．2－a＜2－b3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n＋1＝( )A.(1－)B.(1－)C.(1＋)D.(1＋)5．已知函数f(x)＝若f(f(－1))≥a2－1，则实数a的取值范围为( )A．[－2，－1]B．[－2,1]C．[1,2]D．[－1,2]12/12\n6．(导学号：05856077)(2022·四平摸底考试)已知12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，则12－22＋32－42＋…＋(－1)10×92的值为( )A．－36B．36C．－45D．457．(导学号：05856078)已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2C．3D．48．(导学号：05856079)(2022·安顺二模)已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝3，则x2＋y2＋z2的最小值是( )A．3B．1C.D.9．(导学号：05856080)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.B.C.D.10．(导学号：05856081)(2022·大理调研)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，则x＋2y的最小值为( )A．5B．7C．8D．911．(导学号：05856082)(2022·内江联考)把正整数1,2,3,4,5,6，……按某种规律填入下表，261014145891213…371115按照这种规律继续填写，则2022出现在( )A．第3行，第1506列B．第3行，第1508列C．第2行，第1522列D．第2行，第1510列12．(导学号：05856083)(2022·铜仁质检)数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且满足an＋1＝an＋an＋2，则a2022的值为( )12/12\nA．bB．b－aC．－bD．－a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：05856084)(2022·甘孜调研)等式≥1的解集为________________________________________________．14．在等比数列{an}中，如果a2和a6是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么a4的值为__________．15．(导学号：05856085)(2022·绵阳二模)不等式|x＋1|－|x－2|≥2的解集为__________．16．(导学号：05856086)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(导学号：05856087)(本小题满分10分)(2022·潭州联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋a.(1)当a＝4时，解不等式f(x)＞16；(2)若f(x)≥1对任意x恒成立，求实数a值．18.(导学号：05856088)(本小题满分12分)12/12\n已知m，n∈R＋，f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|.(1)当m＝n＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)的最小值为2，求证＋≥2.19.(导学号：05856089)(本小题满分12分)已知正项等比数列{an}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．12/12\n20.(导学号：05856220)(本小题满分12分)(2022·湖州联考)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．21.(导学号：05856221)(本小题满分12分)如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为12/12\nAB，DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．22.(导学号：05856222)(本小题满分12分)(2022·丹东调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且对任意x＞0，都有f′(x)＞.(1)判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；(3)请将(2)中结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．12/12\n专题五 数列、推理与证明、不等式1.B 设公差为d，则a7－a3＝4d＝6，a11＝a7＋4d＝7.2．D ∵a＞b，∴()a＜()b，即2－a＜2－b.3．A 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.4．B 依据递推公式的特征，可以分项求和，则S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝1＋＋＋…＋＝(1－)．故选B.5．B ∵f(f(－1))＝1－a，∴1－a≥a2－1，化简解得－2≤a≤1.6．D 观察等式规律可知，第n个等式的右边＝(－1)n＋1·，所以12－22＋32－42＋…＋(－1)10×92＝(－1)10·＝45.7．D ∵|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4，∴(|y＋4|－|y|)max＝4，要使不等式对任意实数x，y都成立，应有2x＋≥4，∴a≥－(2x)2＋4×2x＝－(2x－2)2＋4，令f(x)＝－(2x－2)2＋4，则a≥f(x)max＝4，∴a的最小值为4，故选D.8．A x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×≥(1×x＋1×y＋1×z)2×＝3.当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．9．B 画出不等式组的平行区域如题所示：由得A(1,2)．由得B(2,1)．12/12\n由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即|AB|＝＝.故选B.10．D 由题意得，2x＋y＝xy⇒＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时，即x＝y等号是成立的．11．C 由3,7,11,15知a503＝2022，∴2022是第二行，第1522列．12．D an＋2＝an＋1－an，∴a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，…，∴an是以6为周期的数列，∴a2022＝a6×336＋4＝a4＝－a.13．(－，1] d原不等式变形为：()≥()0∵＜1，∴≤0同解变形为解得：－＜x≤1，∴原不等式的解集为：(－，1]．14．2 方程x2－5x＋4＝0的两个根为1和4，等比数列{an}中，a4a4＝a2a6＝4，a＝a2a6＝4，又a4＝a2q2＞0，所以a4＝2.15．{x|x≥}16．－ ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴()是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.17．(1)a＝4时，不等式f(x)＞16，即x2＋4x－12＞0，即(x＋6)(x－2)＞0，12/12\n解得x＜－6或x＞2.故a＝4时，不等式f(x)＞16的解是(－∞，－6)∪(2，＋∞).5分(2)f(x)≥1对任意x恒成立，即不等式x2＋ax＋a－1≥0对任意x恒成立，即Δ＝a2－4(a－1)＝(a－2)2≤0，故a＝2.10分18．(1)∵f(x)＝，∴f(x)在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x＝时，f(x)取最小值.6分(2)∵f(x)＝，∴f(x)在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x＝时，f(x)取最小值f()＝m＋.∵m，n∈R，∴＋＝(＋)(m＋)＝(2＋＋)≥2.12分19．(1)设等比数列{an}的公比为q，∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列，∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1.5分(2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n两式相减得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n12/12\n＝3×－3n()n＝6－，∴Tn＝12－＜12.又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}单调递增，∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，∴a≤3，b≥12.即a的最大值为3，b的最小值为12.故(b－a)min＝12－3＝9.12分20．(1)∵第一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f(x)＝4y＝则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x≤8，∴此时0≤x≤4.当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8.综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.6分(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2(5－x)＋a[－1]＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4.∵14－x∈[4,8]，从而1≤a≤4.∴4∈[4,8]．12/12\n故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，∴a的最小值为24－16≈1.6.12分21．(1)如图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝.∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN＝，∴sin∠MNG＝.故MN与平面DCEF所成角的正弦值为.6分(2)假设直线ME与BN共面，连接EN，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.∵两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，CD⊂平面DCEF，∴AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线.12分22．(1)对F(x)求导数，得F′(x)＝.∵f′(x)＞，x＞0，∴xf′(x)＞f(x)，即xf′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0.12/12\n故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.4分(2)∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2.由(1)，知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜.∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2).8分(3)(2)中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn.由(1)，知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜.∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．同理可得f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，f(x3)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，…f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).12分12/12
