七、数列中不等式证明一、解答题1．【2022届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1n∈N*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.【答案】（1）an=2n-1；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据an=2n-1得akak+1=2k-12k+1-1<2k-12k+1-2=12，所以a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.试题解析：（1）∵an-1=2an+1n∈N*.∴an+1+1=2an+1，∴an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴an+1=2n，即an=2n-1.(2)证明：∵akak+1=2k-12k+1-1<2k-12-2k-1-1=2k-122k-1=12，k=1,2,…,n，∴a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.2．【2022届北京西城35中高三上期中】等差数列满足，．（）求的通项公式．（）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？（）试比较与的大小，并说明理由．【答案】（）（）（）-26-\n试题解析：（）∵是等差数列，，∴解出，，∴，．（）∵，，是等比数列，，∴，．又∵，∴，∴与数列的第项相等．（）猜想，即，即，用数学归纳法证明如下：①当时，，显然成立，②假设当时，成立，即成立；则当时，-26-\n，成立，由①②得，猜想成立．∴．3．【2022届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证：.【答案】（I）；（II）证明见解析.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.-26-\n从而即，整理得即数列的通项公式为.4．【2022届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列为等差数列，所以：，，，因为，成等比数列，所以：，解得：，所以：.-26-\n（2）已知，①②，①-②得：，所以：，由于，所以：，.5．【2022届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中，，其前项的和为，且满足.(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)证明：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）当时，,，，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，..6．【2022届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列{an}满足：a1=1，an=an-12an-1+1（n≥2）.（1）求数列an的通项公式；-26-\n（2）设数列anan+1的前n项和为Tn，求证：Tn<12.【答案】（1）an=12n-1（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：an=an-12an-1+1(n≥2)⇒1an=2an-1+1an-1=1an-1+2(n≥2)，所以1an是以2为公差的等差数列，a1=1⇒1a1=1，所以1an=2n-1，所以数列{an}的通项公式为an=12n-1.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得anan+1=12n-1⋅12n+1=1212n-1-12n+1，Tn=121-12n+1<12.7．【2022届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：.【答案】（1）（2）略解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，-26-\n所以有，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.8．【2022届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据当时，，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得．-26-\n（Ⅱ）证明：．由，所以，所以．因为，所以，即．9．【2022届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2（an-1)，求证：1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1bnbn+1<1．【答案】(Ⅰ)an=2n+1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列an的通项公式；（Ⅱ）化简bn=log2an-1=log22n=n，则1bnbn+1=1n-1n+1，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由Sn=2n+1+n-2Sn-1=2n+(n-1)-2(n≥2)，则an=2n+1(n≥2).当n=1时，a1=S1=3，综上an=2n+1.-26-\n（Ⅱ）由bn=log2(an-1)=log22n=n.1b1b2+1b2b3+1b3b4+...+1bnbn+1=11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)=(1-12)+(12-13)+(13-14)+...+(1n-1n+1)=1-1n+1<1.得证.10．【2022届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知，分别为等差数列和等比数列，，的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.（1）求的值；（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.请你求出解析式，并证明：.【答案】（1）,（2）见解析试题解析：（1）由得，又，所以∴.∵的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以，，∴.-26-\n（2）∵，令的公比为，则.又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，解得.所以.∵，因为，所以当时，有最小值为，所以.11．【2022届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列{an}满足f(x)，则an+2=an+2，且a2，a1，a3，a7成等比数列.（Ⅰ）设bn=an+an+1，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn+22nbnbn+1，求证：c1+c2+…+cn<13.【答案】（Ⅰ）bn=2n+1.（Ⅱ）见解析.试卷解析：（Ⅰ）由an+2=an+2及a2，a1，a3，a7成等比数列得{a2⋅a3=a12a1⋅a7=a32，即{a2(a1+2)=a12a1(a1+6)=(a1+2)2，解得a1=2，a2=1，又bn=an+an+1，所以b1=a1+a2=3，bn+1-bn=(an+2+an+1)-(an+1+an)=an+2-an=2，所以数列{bn}是首项为3，公差为2的等差数列，所以bn=3+2(n-1)=2n+1.-26-\n（Ⅱ）因为cn=bn+22nbnbn+1=2n+5(2n+1)(2n+3)2n=2(2n+3)-(2n+1)(2n+1)(2n+3)2n=1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n.所以c1+c2+⋯+cn=13×1-15×2+15×2-17×22+⋯+1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n=13-1(2n+3)2n<13.12．【2022届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列满足：，.为数列的前项和.（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：（Ⅰ）证法一：因为，∴时，，∴，即，当时，，综上，.证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，当时，结论显然成立.假设时，成立，-26-\n则当时，由，得，结论成立.综上：对任意，有，以下同解法一.从而，当时，，，所以，令设为不小于的最小整数，取(即)，当时，.13．【2022高考浙江理数】设数列满足，．（I）证明：，；-26-\n（II）若，，证明：，．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】试题解析：（I）由得，故，，所以，因此．（II）任取，由（I）知，对于任意，，-26-\n故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．14．【2022届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列an中，a1=0，an+1=an2+m，其中m∈R，n∈N*．（1）当m=1时，求a2，a3，a4的值．（2）是否存在实物m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论．（3）当m>14时，证明：存在k∈N*，使得ak>2022．【答案】（1）a2=1，a3=2，a4=5．（2）存在m=-1±2，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（3）证明见解析.（2）∵a2，a3，a4成等差数列，∴a3-a2=a4-a3，-26-\n即a22+m-a2=a32+m-a3，∴(a32-a22)-(a3-a2)=0，∴a3-a2≠0，∴a3+a2-1=0．将a2=m，a3=m2+m，代入上式，解得m=-1±2．经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0．∴存在m=-1±2，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（3）∵an+1-an=a2n+m-an=an-122+m-14≥m-14，又m>14，∴令d=m-14>0．∵an-an-1≥d，an-1-an-2≥d，⋯，a2-a1≥d，∴an-a1≥(n-1)d，即an≥(n-1)d．取正整数k>2022d+1，则：ak≥(k-1)d>d⋅2022d=2022．故当m>14时，存在k∈N*,使得ak>2022．15．【2022届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足，为常数．（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当时，求证：．（3）当时，求证：当时，．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】试题分析：试题解析：-26-\n（1）若，则，即，即，则，所以不存在数列使得．（2）由得，当时，，两式相减得，即，，，，当时，，即，综上，．（3）证1：由得，当时，，两式相减得，另一方面，，故．证2：由得，，所以当时，，-26-\n下同证1.16．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列xn满足x1=1，xn+1=2xn+3，求证：（I）0<xn<9；（II）xn<xn+1；（III）xn≥9-8⋅23n-1.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3)因为0<xn<9，所以xn>xn3.从而xn+1=2xn+3>32xn+3.即9-xn+1<239-xn，所以9-xn≤23n-19-x1又x1=1，故xn≥9-8⋅23n-1.试题解析：（I）（数学归纳法）当n=1时，因为x1=1，所以0<x1<9成立.假设当n=k时，0<xk<9成立,则当n=k+1时，xk+1=2xk+3.因为xk+1=2xk+3≥3>0，且xk+1-9=2xk-6=2xk-3<0得xk+1<9所以0<xn<9也成立.（III）因为0<xn<9，所以xn>xn3.从而xn+1=2xn+3>32xn+3.所以xn+1-9>23xn-9，即9-xn+1<239-xn.-26-\n所以9-xn≤23n-19-x1.又x1=1，故xn≥9-8⋅23n-1.17．【2022届浙江省温州市高三9月测试】已知数列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（n∈N*）． （1）求证：12≤an<1；（2）求证：1an-1是等差数列；（3）设bn=n(1+a1)(1+a2)…(1+an)，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn<9415．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=12，满足12≤an<1，假设当n=k（k≥1）时，12≤an<1，则当n=k+1时，ak+1=12-ak∈[23,1)，即n=k+1时，满足12≤an<1；所以，当n∈N*时，都有12≤an<1．（2）由an+1=1+anan+12，得an+1=12-an，所以an+1-1=12-an-1=-1+an2-an，即1an+1-1=1an-1-1，即1an+1-1-1an-1=-1，所以，数列1an-1是等差数列．（3）由（2）知，1an-1=-2+(n-1)(-1)=-n-1，∴an=nn+1，-26-\n因此bn+1bn=n+1(1+an+1)n=n2+3n+22n2+3n，当n≥2时，12n2+18n-(7n2+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0，即n≥2时，bn+1bn=n2+3n+22n2+3n≤67，所以n≥2时，bn≤67bn-1≤(67)2bn-2≤…≤(67)n-2b2，显然bn>0，只需证明n≥3，Sn<9415即可．当n≥3时，Sn=b1+b2+b3++bn≤23+b2+67b2+(67)2b2+…+(67)n-2b2=23+45(1-(67)n-1)1-67=23+285(1-(67)n-1)<23+285=9415．18．【2022浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．-26-\n（Ⅲ），∴，．19．【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析法求和得结论试题解析：证明：（1）由于，则.若，则，与矛盾，从而，，又，与同号，又，则，即.-26-\n从而当时，，从而.（3），叠加：.20．【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；（3）求证：当时，.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）构造新数列，-26-\n则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得（2），，利用相邻两项的差得数列为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解．试题解析：解：（1）由条件得，又，所以，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此，．（3）当时，，由（2）知，又，，所以．21．【2022年浙江卷】已知数列满足：证明：当时（I）;（II）；-26-\n(III)【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由及，递推可得试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：．当n=1时，x1=1>0．假设n=k时，xk>0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．因此．所以，因此．-26-\n（Ⅲ）因为，所以，由，得，所以，故．综上，．22．【2022年北京卷】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数-26-\n，使得是等差数列．【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（Ⅰ），.当时，，所以关于单调递减.所以.所以对任意，于是，所以是等差数列.（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则.所以①当时，取正整数，则当时，，因此.此时，是等差数列.-26-\n③当时，当时，有.所以对任意正数，取正整数，故当时，.-26-
