直线与平面平行的性质[A级 基础巩固]1．已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A．0条 B．1条C．0条或1条D．无数条解析：选C 过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条．2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是( )A．平行B．异面C．相交D．共面解析：选AB ∵AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A、B.3.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.4.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )A．2＋B．3＋C．3＋2D．2＋2解析：选C 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.6
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG.故选B.6．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．解析：①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.答案：①或③7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.答案：58.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．解析：∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，6
故PQ＝＝DP＝a.答案：a9.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：(1)l∥BC；(2)MN∥平面PAD.证明：(1)∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.又平面PBC∩平面PAD＝l，∴l∥BC.(2)如图，取PD的中点E，连接AE，NE，则NE∥CD，且NE＝CD，又AM∥CD，且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.10.如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB⊂平面ABC，∴AB∥MN.又平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，AB⊂平面ABD，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ是平行四边形．[B级 综合运用]11．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GCD．四边形EFGH是平行四边形或梯形解析：选CD 由BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则6
AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.且EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形或梯形．12.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )A.B.C．1D．解析：选A 如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝AB1＝＝.故选A.13.如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.(1)若E是BC的中点，则m的值为________；(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为________．解析：(1)如图，设G是CB1上一点，连接DG，GE.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EG，则四边形DAEG是平行四边形．故DA＝GE，所以G是CB1的中点．故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.(2)如图，设H是CB1上一点，连接DH，HE.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，因为EH∥BB1，所以＝＝，6
所以＝＝，则＝2，即m＝2.答案：(1)1 (2)214.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．解：直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.[C级 拓展探究]15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.∵EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.(2)同(1)可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝1，又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，∴y＝6，且0<x<4，∴四边形EFGH的周长为l＝2(x＋y)＝2＝12－x，6
∵8<12－x<12，∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．6
