直线与直线垂直[A级 基础巩固]1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直解析：选D 因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC(图略)，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．故选D.2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有( )A．2条 B．4条C．6条D．8条解析：选D 在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.3．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是( )A．AB与CD所在直线垂直B．CD与EF所在直线平行C．AB与MN所在直线成60°角D．MN与EF所在直线异面解析：选CD 画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的．故选C、D.4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30°B．45°6
C．60°D．90°解析：选C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成的角的正切值为( )A.B．2C.D．4解析：选A 取A′D的中点N，连接PN，MN(图略)．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A.6．在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．答案：27．已知四面体ABCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．解析：设四面体ABCD的棱长为a，直线AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF(图略)．由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF为异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝a，EF＝a，则在△AEF中，cos∠AEF＝＝.答案：8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．6
解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.答案：19．如图，正四棱锥PABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，则cos∠OEB＝＝＝.10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求证：EF⊥A1C1.解：(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，6
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)证明：连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1.[B级 综合运用]11．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′DEF，则HG与IJ所成角的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．0°解析：选B 如图所示，在三棱锥A′DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成的角与A′D与DF所成的角相等．显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°，故选B.12．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为( )A.B.C.D．解析：选B 如图，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，所以∠EFG即为异面直线EF与AC所成的角，GF＝AC＝1.同理GE∥BD，GE＝BD＝1.易得AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG＝，即异面直线EF与AC所成的角为，故选B.6
13．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则sin2α＋sin2β＝________．解析：取正方形B1C1CB的中心为点O，连接OC1，OE(图略)．因为E是正方形ADD1A1的中心，所以由正方体的性质易知OE∥AB，所以∠C1EO为异面直线C1E与AB所成的角，即∠C1EO＝β.取BC的中点H，连接GH，FH.因为F是正方形ABCD的中心，所以FH∥AB，所以∠GFH为异面直线GF与AB所成的角，即∠GFH＝α.设正方体的棱长为2，在△GFH中，GH＝，FH＝1，GF＝，所以GH2＋FH2＝GF2，即∠FHG＝90°，则sinα＝.在△C1EO中，OE＝2，C1E＝，OC1＝，所以OE2＋OC＝C1E2，即∠EOC1＝90°，则sinβ＝＝，所以sin2α＋sin2β＝1.答案：114.如图所示，四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图．则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝BD＝1；当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，6
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝.故EF的长度为1或.[C级 拓展探究]15.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．(1)求三棱锥A1APB的体积；(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，∴S△PAB＝×2×2＝2，∴三棱锥A1APB的体积VA1APB＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.证明如下：∵O，M分别为AB，AP的中点(图略)，∴OM∥BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.6
