直线与直线平行[A级 基础巩固]1．两等角的一组对应边平行，则( )A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：选D 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D.2．在三棱台A1B1C1ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1( )A．相交 B．异面C．平行D．垂直解析：选C 如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.3．(多选)下列命题中，真命题有( )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．解析：选BD 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以A为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以C为假命题；B、D是真命题．4．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．以上均有可能解析：选D 如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．故选D.5.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )6
A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直解析：选A 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行．6．在四棱锥PABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________．解析：由题意知EF綉AC，GH綉AC，故EF綉GH，故GH＝2.答案：27．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________．解析：连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.∴MN綉EF，EF綉BD.∴MN綉BD.∴MN＝m.答案：m8．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．解析：由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a⊂平面α，b⊂平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．答案：①9.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.6
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求的值．解：(1)证明：因为AA′∩BB′＝O，且＝＝，所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO＝∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且＝＝，所以＝＝.10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC.在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC.由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1，∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．又易知∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，6
∴∠DNM＝∠D1A1C1.[B级 综合运用]11.(多选)如图，在四棱锥ABCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则( )A．PQ＝MNB．PQ∥MNC．M，N，P，Q四点共面D．四边形MNPQ是梯形解析：选BCD 由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确．12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )A．1＜MN＜5B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5D．2＜MN＜5解析：选A 取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.故选A.13．如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四边形EBFD1是________(填“正方形”或“菱形”)．解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.∵E，G分别为棱AA1，BB1的中点，∴EG綉A1B1.又A1B1綉C1D1，∴EG綉C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E綉C1G.∵F，G分别为棱CC1，BB1的中点，∴C1F綉BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，∴BF綉C1G，6
又D1E綉C1G，∴D1E綉BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝a.故平行四边形EBFD1是菱形．答案：菱形14．在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)如图①所示，若E，F分别为BC，CC1的中点，求证：EF∥AD1；(2)如图②所示，若F，H分别为CC1，A1A的中点，求证：BF∥HD1.证明：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图①所示，连接BC1，因为AB∥CD，AB＝CD，且CD∥C1D1，CD＝C1D1，所以AB∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1；又E，F分别为BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，所以EF∥AD1.(2)如图②所示，取BB1的中点E，连接HE，EC1，则HE∥A1B1，HE＝A1B1，A1B1∥D1C1，A1B1＝D1C1，所以HE∥D1C1，HE＝D1C1，所以四边形HEC1D1是平行四边形，所以HD1∥EC1；又BE∥FC1，且BE＝FC1＝CC1，所以四边形EBFC1是平行四边形，所以BF∥EC1，所以BF∥HD1.[C级 拓展探究]15．如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．6
解：如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.6
