课时3运动的图象、追及和相遇\n►基础梳理◄概念：在平面直角坐标系中用纵轴表示位移x，横轴表示时间t，画出的图象就是位移—时间图象，如图1所示．基本特征：x—t图象反映了物体运动的位移随时间变化的规律．1．匀速直线运动的x—t图象是一条倾斜的直线．2．匀变速直线运动的x—t图象是一条抛物线．\n►疑难详析◄x—t图象的含义1．x—t图象的斜率表示速度的大小和方向．2．根据x—t图象的形状，可以判断物体的运动性质：图象与时间轴平行表示物体静止；若位移图象是倾斜的直线，表示物体做匀速直线运动；若图象是曲线，表示物体做变速运动．3．图象与位移轴(纵轴)的交点表示物体的初位置；图象与时间轴(横轴)的交叉，表示物体从参考点的一边运动到另一边；两条图象的交点表示位移相等(在同一位置两物体相遇)．\n►基础梳理◄概念：在平面直角坐标系中用纵轴表示速度v，横轴表示时间t，画出的图象就是速度—时间图象．基本特征：v—t图象反映了物体运动的速度随时间变化的规律，如图2所示．\n►疑难详析◄对v—t图象的理解1．根据速度的正负判断运动的方向，速度为正，表示物体沿正方向运动；速度为负，表示物体沿负方向运动．2．判断物体运动的性质：在v—t图象中，若速度图线平行于时间轴，则表示物体做匀速直线运动；和时间轴重合的直线表示静止；倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示非匀变速直线运动．\n3．速度图象的斜率表示加速度的大小和方向．4．速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小，且t轴上方为正，下方为负，总位移为其代数和．5．图线与v轴的交点表示初速度，两条图线的交点表示速度相等．\n►深化拓展◄正确理解图象的物理意义1．首先明确所给的图象是什么图象．即认清图象中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系．特别是那些图形相似容易混淆的图象，更要注意区分．2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．(1)点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态．\n(2)线：表示研究对象的变化过程和规律，如v—t图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动．(3)斜率：表示横、纵坐标上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应．用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题．如x—t图象的斜率表示速度大小，v—t图象的斜率表示加速度大小．(4)面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应．如v—t图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小．\n(5)截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小．由此往往能得到一个很有意义的物理量．在很多题目中，往往利用数学表达式，将截距(横轴截距或纵轴截距)对应的物理数据代入计算，可融入较多的知识点进行考查．注意：位移图象、速度图象都不是物体的运动轨迹，在v—t图象和x—t图象中，纵轴的正负只能描述同一直线上的两个方向，要么和正方向相同，要么和正方向相反，所以无法描述曲线运动．\n►基础梳理◄分析方法：当两个物体在同一直线上同向运动，当前面物体的运动速度大于后面物体的运动速度时，两者间的距离将逐渐增大，不论两物体做什么运动均如此．反之，两者间的距离将逐渐减小．可见，当两物体速度相等时，两者间的距离将最大或最小．\n►疑难详析◄求解追及和相遇问题的基本思路1．分别对两物体研究；2．画出运动过程示意图；3．列出位移方程；4．找出时间关系、速度关系、位移关系；5．解出结果，必要时进行讨论．\n►深化拓展◄解答追及相遇问题的常用方法1．物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键．2．相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．3．数学法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．也可用不等式进行限制求出追上或追不上的取值范围．\n4．图象法：将两者的速度—时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解．\n题型一 对x－t图象的理解图3\n[例1]某质点在东西方向上做直线运动，选定向东的方向为正方向，其位移图象如图3所示，试根据图象，求：(1)描述质点的运动情况；(2)质点在0～4s、0～8s、2～4s三段时间内的位移和路程；(3)质点在0～4s、4～8s内的速度．\n[解析](1)从图象知：质点从t＝0开始由原点出发向东做匀速直线运动持续时间4s,4s末开始反向向西做匀速直线运动，又经过2s，即6s末回到原出发点，然后又继续向西做匀速直线运动直至8s末时刻．(2)在0～4s内位移为8m，路程也是8m.在0～8s内位移为－8m，负号表明位移的方向向西，说明质点在8s末时刻在原出发点西8m的位置上，此段时间路程为24m.在2～4s内，质点发生的位移是4m，路程也是4m.\n[答案]见解析．\n题后反思：在x-t图象中，图线的斜率与速度有关，斜率大小等于速度大小，斜率为正，表明物体的运动方向与规定正方向相同.反之，相反.\n甲、乙两物体的位移—时间图象如图4所示，下列说法正确的是()图4\nA．甲、乙两物体均做匀变速直线运动B．甲、乙两物体由不同地点同时出发，t0时刻两物体相遇C．0～t0时间内，两物体的位移一样大D．0～t0时间内，甲的速度大于乙的速度；t0时刻后，乙的速度大于甲的速度\n解析：x—t图象的斜率表示速度，故甲、乙两物体均做匀速直线运动，且v甲<v乙，故选项A错；初始时刻，两物体在不同位置，同时出发，t0时刻两物体在同一位置，即相遇，故选项B对；0～t0时间内，两物体的末位置相同，初位置不同，故位移不同，且x甲<x乙，故选项C错．甲、乙两条x—t图线的斜率不变，故t0时刻前后，甲、乙始终做匀速直线运动，且v甲<v乙，故选项D错．答案：B\n题型二 根据v－t图象分析物体的运动情况[例2]如图5所示是某质点的速度图象，由此确定．(1)质点在OA、AB、BC、CD段做何种运动？(2)质点在各段运动中的位移分别是多少？(3)质点在OA段、AC段和全程中的平均速度分别是多少？\n\n[答案]见解析\n题后反思：各段时间内对应的位移等于此段时间内图线与坐标轴包围的面积，全程的位移应是时间轴上方和下方图线所围面积之差.\n一枚小火箭由地面竖直向上发射，55s后关闭发动机，其速度—时间图象如图6所示，问：(1)地面的重力加速度g＝________m/s2(2)火箭上升的最大高度h＝________m(3)火箭的整个飞行时间t总＝________s\n答案：(1)9.6(2)8750(3)122.70\n题型三 追及和相遇问题[例3]一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面赶过汽车．试求：(1)汽车从路口开动后，在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？\n[解析]法1：通过临界条件求解(1)汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值．当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，当两者速度相等时两车相距最大，有v汽＝at＝v自，所以\n\n\n(2)同法1.法4：用图象求解．\n(1)自行车和汽车的v－t图象如图7所示，由于图象与横坐标所包围的面积表示位移的大小，所以由图可以看出，在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即斜线部分)达最大，所以t＝ ＝s＝2sΔx＝vt－at2＝6m(2)由图可看出，在t时刻以后，由v自或与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)．所以由图得相遇时间t′＝2t＝4s，v′＝12m/s.[答案](1)2s6m(2)4s12m/s\n甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v10＝16m/s、加速度大小a1＝2m/s2做匀减速运动，乙以初速度v20＝4m/s、加速度大小a2＝1m/s2做匀加速运动．求：(1)两车再次相遇前两者间的最大距离；(2)两车再次相遇所需的时间．\n解析：先分析甲、乙两车的运动过程，开始时由于v10>v20，甲车在前乙车在后，当v1>v2时，两车的距离越来越大．由于甲车做匀减速运动，速度逐渐减小，而乙车做匀加速运动，速度逐渐增大，当v1＝v2时，两车间距离达到最大．当v1<v2时，甲、乙两车间距离开始逐渐缩小，当甲、乙两车通过的位移x1＝x2时，甲、乙两车相遇．(1)设经过时间t两车相距最远，此时甲、乙两车的速度分别为v1＝v10－a1tv2＝v20＋a2t甲、乙两车相距最远的条件为v1＝v2，则v10－a1t＝v20＋a2t\n\n\n甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记．在某次练习中，甲在接力区前s0＝13.5m处做了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20m．求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．\n\n1.两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.40s时间内的v－t图象如图8所示．若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为()\nA.和0.30sB．3和0.30sC.和0.28sD．3和0.28s答案：B\n2.(2009.广东高考)某物体运动的速度图象如图9所示，根据图象可知()A．0～2s内的加速度为1m/s2B．0～5s内的位移为10mC．第1s末与第3s末的速度方向相同D．第1s末与第5s末加速度方向相同\n答案：AC\n3.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图10所示，两图象在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S.在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d.已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能的是()\n答案：D\n4．在平直的公路上，以6m/s匀速行驶的自行车与以10m/s的一辆汽车同向行驶，某时刻同时经过A点，以后汽车以a＝－0.5m/s2开始减速，问：(1)经多长时间自行车再次追上汽车？(2)自行车追上汽车时，汽车的速度是多大？(3)自行车追上汽车前，两车相距的最大距离为多少？(4)汽车停止时，自行车在汽车前方多远处？\n解析：(1)如图11所示当Ⅰ、Ⅱ面积相等时即16s时自行车追上汽车．(2)这时汽车的速度为2m/s.(3)8s时两者距离最大，即为Ⅰ的面积，为16m.(4)汽车停止时两者距离由Ⅲ的面积决定，为20m.答案：(1)16s(2)2m/s(3)16m(4)20m\n5.(2008.四川高考)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动．经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？\n\n答案：6s\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全
