正、余弦函数的单调性与最值[A级 基础巩固]1．函数y＝sin，x∈R在( )A.上是增函数B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：选B 因为y＝sin＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．2．(2021·福建八县(市)高一联考)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A. B．(0，2] C. D.解析：选C ∵函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递减，∴周期T＝≥π，解得0<ω≤2.∵f(x)＝sin的单调递减区间满足＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，∴存在k∈Z，使＋≤，＋≥π均成立．此时＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z，∴≤ω≤，即ω的取值范围是，故选C.3．(多选)对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )A．f(x)在上是递减的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2解析：选AB 因为函数y＝sinx在上是单调递减的，所以f(x)＝sin2x在6
上是单调递减的，故A正确；因为f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．4．下列结论正确的是( )A．sin400°>sin50°B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200°D．cos(－40°)<cos310°解析：选C 由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因为当x∈(0°，90°)时，函数y＝cosx是减函数，所以cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，即cos130°>cos200°.5．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )A．[－1，1]B.C.D.解析：选C y＝sin2x＋sinx－1＝－，当sinx＝－时，ymin＝－；当sinx＝1时，ymax＝1.即y∈.6．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sinx在上的单调递减区间，易知为.答案：7．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为________．解析：∵y＝|sinx|＋sinx＝又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．答案：[0，2]8．若函数f(x)＝2sin在和[3m，π]上均单调递增，则实数m的取值范围为________．6
解析：由f(x)＝2sin知，当x∈[0，π]时，f(x)在和上单调递增，∵函数f(x)在和[3m，π]上均单调递增，∴解得≤m≤，∴实数m的取值范围为.答案：9．比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)cos与cos.解：(1)∵函数y＝sinx在上单调递减，且<<<π，∴sin>sin.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos.∵函数y＝cosx在上单调递减，且0<<<，∴cos>cos，即cos>cos.10．求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x的值．解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.6
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.[B级 综合运用]11．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )A．最大值1，最小值－1 B．最大值1，最小值－C．最大值2，最小值－2D．最大值2，最小值－1解析：选D 因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法中不正确的是( )A．该函数的值域是[－1，1]B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1D．当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0解析：选ABC 画出函数f(x)的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋，k∈Z时，f(x)<0，可知A、B、C不正确．13．若函数y＝a－bcosx(b>0)的最大值为，最小值为－，则a＝________，函数y6
＝－4acosbx的最大值为________．解析：∵y＝a－bcosx(b>0)，∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.由解得∴y＝－4acosbx＝－2cosx，∴函数y＝－4acosbx的最大值为2.答案： 214．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(x)的图象过点(0，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值；(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；(3)求函数f(x)的单调增区间．解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.因为f(x)的图象过点(0，1)，所以f(0)＝2sinφ＝1，即sinφ＝.又－<φ<，所以φ＝.(2)由(1)知，f(x)＝2sin，所以函数f(x)的最大值是2.令2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)．所以f(x)取得最大值时，x的取值集合是.(3)由(1)知，f(x)＝2sin.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．6
[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求φ的值；(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)解：(1)由f(x)≤对x∈R恒成立知2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝或φ＝－，又∵f>f(π)，∴φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(3)f(x)＝sin(2x＋φ)不一定是奇函数，若f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋(k∈Z)．6
