函数的最值、平均变化率[A级 基础巩固]1．过下列两点的直线不存在斜率的是( )A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0)C．(3，－1)与(2，－1)D．(－2，2)与(－2，5)解析：选D 当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在．2．(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是( )A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1解析：选AD 当a<0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.当a>0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递增，当x＝0时，函数取得最小值为1，当x＝2时，函数取得最大值为2a＋1.故选A、D.3.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )解析：选B 由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．4．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )A.B.C.D.解析：选D 易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.5．函数f(x)＝的最大值为( )6
A．1B．2C.D.解析：选B 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.6．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．解析：因为割线AB的斜率kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.答案：4.17．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图像斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．答案：①②③6
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1，3]9．求函数f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝＝，∴函数f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为＝.10．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．解：(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则＝＝＝，由x1，x2∈(0，＋∞)知，x1x2＞0，＞0，∴＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，6
∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.[B级 综合运用]11．(多选)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且a<c<b.则下列说法中错误的是( )A．若f(x)在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)B．若f(x)在[a，c)上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)C．若f(x)在(a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f(x)max＝f(c)D．若f(x)在[a，c]上是增函数，在(c，b)上是减函数，则f(x)max＝f(c)解析：选BD 若f(x)在[a，c]上是增函数，则f(c)≥f(x)，x∈[a，c]；在[c，b]上是减函数，则f(c)≥f(x)，x∈[c，b]，所以f(x)max＝f(c)，故A正确；若f(x)在[a，c)上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f(c)，如f(x)＝故B错误；若f(x)在(a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值为f(c)，故C正确；若f(x)在[a，c]上是增函数，在(c，b)上是减函数，函数的最大值不一定为f(c)，故D错误．故选B、D.12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．[0，2]C．(－∞，2]D．[1，2]解析：选D f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.13．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4，6)．根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝为如图中的实线部分．6
观察图像知，两图像的交点即为f(x)图像的最高点，故f(x)的最大值为6.答案：614．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.设x1，x2∈(－∞，－2)，且x1≠x2，则＝＝＝.由x1，x2∈(－∞，－2)知，x1＋2＜0，x2＋2＜0，所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，即＞0，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，则＝＝＝.由a＞0，x1，x2∈(1，＋∞)，且＜0知(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1，故0＜a≤1，所以a的取值范围为(0，1]．[C级 拓展探究]15．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0,]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．已知f(x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．解：f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，6
所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为.由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．6
