指数函数与对数函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a>0，则a·a等于( )A．a－ B．aC．aD．a解析：选A a·a＝a＝a＝a－.2．已知a>1，函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象只可能是( )解析：选C 当a>1时，y＝a－x＝，在R上是减函数；当a>1时，y＝logax是增函数，且函数y＝logax的图象与函数y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，综合考虑选项C正确．3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A．m<n<pB．m<p<nC．p<m<nD．p<n<m解析：选C ∵m＝0.95.1<0.90＝1，∴m∈(0，1)；又n＝5.10.9>5.10＝1，∴n∈(1，＋∞)；∵p＝log0.95.1<log0.91＝0，∴p∈(－∞，0)．故选C.4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，则a＋b等于( )A．6B．5C．4D．3解析：选C 函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，则即解得则a＋b＝4.5．由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是( )8
x01234ex12.727.3920.0954.603x＋22581114A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选C 设f(x)＝ex－3x－2，由题表知，f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)，故选C.6．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二解析：选D 由题图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A项正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B项正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C项正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D项错误．7．已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )A．2B．3C．4D．与a的值有关解析：选A 分别作出函数y＝a|x|和y＝|logax|的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方案a|x|＝|logax|有两个根．故选A.8．已知函数f(x)＝e|x|＋x2(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a8
的取值范围是( )A.B.C.∪D.∪解析：选C 易知f(x)＝e|x|＋x2为偶函数，所以f(3a－2)>f(a－1)同解于f(|3a－2|)>f(|a－1|)．又因为在[0，＋∞)上，f(x)＝e|x|＋x2为增函数，所以f(|3a－2|)>f(|a－1|)⇒|3a－2|>|a－1|，两边平方得8a2－10a＋3>0，解得a<或a>，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )A．a＝8B．f(0)＝－3C．f＝2D．a＝4解析：选AC 因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2.10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋xB．y＝log2xC．y＝2x2－3D．y＝x|x|解析：选AD A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．11．设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x＝对称解析：选AD A正确，∵x2－x＋1＝＋>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y＝ln(x2－x＋1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；8
C错误，由x2－x＋1＝＋≥可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln，∴函数的值域为；D正确，函数的图象关于直线x＝对称．故选A、D.12．已知函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列所给出的函数中是“M函数”的有( )A．y＝x2B．y＝C．y＝2x－1D．y＝ln(x＋1)解析：选BD 依题意得，若b是f(x)的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f(x)的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞)，不是“M函数”；选项B中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是“M函数”；选项C中函数的值域为(0，＋∞)，不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”．故选B、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．解析：易得f(0)＋f(2)＝＋log2＝2＋(－1)＝1.答案：114．已知函数f(x)＝x2－2x＋loga在内恒小于零，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝x2－2x＋loga在内恒小于零，即(x－1)2<loga(x－1)对于x∈恒成立，画出函数y＝(x－1)2与y＝loga(x－1)的图象(略)，得，解得≤a<1.答案：15．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，8
并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则0.7x＝(1＋0.47)y，∴x＝2.1y.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.5x＝0.5×2.1y＝1.05y，利润率为－1＝0.05＝5%.答案：5%16.如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为________，点B的横坐标为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3.因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，所以y2－y3＝2(x2－x1)，y2＋y3＝2y1，即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)，log216x2＋log2x3＝2log216x1，化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1，解得x1＝，x2＝.答案： 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)化简求值：(1)0.064－＋16＋0.25；(2)lg25＋lg2＋－log29×log32.解：(1)0.064－＋16＋0.25＝0.43×－1＋2＋0.5＝2.5－1＋8＋0.5＝10.(2)lg25＋lg2＋－log29×log328
＝lg5＋lg2＋3－2(log23×log32)＝1＋－2＝－.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．19．(本小题满分12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)．(1)求函数的定义域；(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．解：(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1<x<3，所以函数的定义域为{x|－1<x<3}；(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数．因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.所以y的最大值为1，此时x＝1.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．(1)若a＝－1，求函数的零点；8
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·，则x1＝1，x2＝－，由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a＜0或a≤－2，综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]．21．(本小题满分12分)已知不等式log2(x＋1)≤log2(7－2x)．(1)求不等式的解集A；(2)若当x∈A时，不等式－4＋2≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由已知可得解得－1<x≤2，因此，原不等式的解集A＝(－1，2]．(2)令f(x)＝－4＋2，x∈(－1，2]，则原问题等价于f(x)min≥m.∵f(x)＝4·－4·＋2，令t＝∈，则y＝4t2－4t＋2＝4＋1，当t＝，即x＝1时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝1，∴m≤1.因此，实数m的取值范围是(－∞，1]．22．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝8
loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)由题意知，当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12，82)，且曲线过点(14，81)，则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0，14]．又当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14，81)，则易得a＝，则f(t)＝log(t－5)＋83，t∈[14，45]．则p＝f(t)＝(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，当t∈(0，14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，解得12－2<t≤14.当t∈(14，45]时，令f(t)＝log(t－5)＋83>80，解得14<t<32.综上可得，12－2<t<32.故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．8
