专题强化练3 利用均值不等式求最值一、单项选择题 1.()若a,b,c均大于0,且2a+b+c=6,则a(a+b+c)+bc的最大值为( )A.34B.3C.32D.22.()若a>b>c>0,则2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是( )A.2B.4C.25D.53.(2020广东化州高三第一次模拟,)若正实数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为( )A.245B.2C.285D.5二、填空题4.()若x,y均为正实数,且2x+8y-xy=0,则x+y的取值范围是 . 5.(2020江西南昌第十中学高一月考,)设a>0,b>1,若a+b=2,则4a+1b-1的最小值为 . 6.(2020湖南常德二中高一上第一次测试,)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 . 7.()已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的最大值为 . 三、解答题8.()设0<x<2,求函数y=3x(8-3x)的最大值.6
9.(2019山东菏泽高二期末,)(1)已知x>1,求2x+1x-1的最小值;(2)已知x>y>0,求x2+4y(x-y)的最小值.10.()某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙.先等距安装x根立柱,然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元,一块长为m米的玻璃造价为(50m+100m2)元.假设所有立柱的粗细都忽略不计,且不考虑其他因素,记总造价为y元(总造价=立柱造价+玻璃造价).(1)求y关于x的函数解析式;(2)当a=56时,怎样设计能使总造价最低?11.()若x>0,y>0,且2x2+y23=8,求x6+2y2的最大值.6
答案全解全析第二章 等式与不等式专题强化练3 利用均值不等式求最值一、单项选择题1.C ∵a,b,c均大于0,∴a(a+b+c)+bc=a2+ab+ac+bc=(a2+ac)+(ab+bc)=a(a+c)+b(a+c)6
=(a+b)(a+c)≤(a+b)+(a+c)22=2a+b+c22=622=32,当且仅当a+b=a+c=62时,等号成立,∴a(a+b+c)+bc的最大值为32.故选C.2.B ∵a>b>c>0,∴原式=a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2+a2=a2-ab+1a(a-b)+ab+1ab+(a-5c)2≥2(a2-ab)·1a(a-b)+2·ab·1ab+0=2+2+0=4,当且仅当a(a-b)=1,ab=1,a-5c=0,即a=2,b=22,c=25时取等号,∴所求代数式的最小值是4.3.B ∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴15y+35x=1,∴3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y·12y5x=5,当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.二、填空题4.答案 [18,+∞)解析 由原方程可得y(x-8)=2x(x≠8),∴y=2xx-8,∵x>0,y>0,∴x-8>0,∴x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+10≥2(x-8)·16x-8+10=18,当且仅当x-8=16x-8,即x=12时,等号成立.故x+y的取值范围为[18,+∞).5.答案 9解析 因为a+b=2,所以a+b-1=1,所以4a+1b-1=4a+1b-1[a+(b-1)]=5+4(b-1)a+ab-1.因为b>1,所以b-1>0,又a>0,所以5+4(b-1)a+ab-1≥9,当且仅当4(b-1)a=ab-1,即a=23,b=43时等号成立,故4a+1b-1的最小值为9.6.答案 926
解析 由x>0,y>0,得x+2y=4≥22xy,所以xy≤2,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时,等号成立.所以(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92,故所求的最小值为92.7.答案 3解析 ∵9a2+x2≥6ax,9b2+y2≥6by,9c2+z2≥6cz,∴6(ax+by+cz)≤9(a2+b2+c2)+(x2+y2+z2)=18(当且仅当x=3a,y=3b且z=3c时,等号成立),∴ax+by+cz≤3.三、解答题8.解析 ∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=3x(8-3x)≤3x+(8-3x)2=82=4,当且仅当3x=8-3x,即x=43时取等号.∴当x=43时,y=3x(8-3x)有最大值4.9.解析 (1)因为x>1,所以x-1>0,所以2x+1x-1=2(x-1)+1x-1+2≥22(x-1)·1x-1+2=2+22,当且仅当2(x-1)=1x-1(x>1),即x=1+22时,等号成立,故2x+1x-1的最小值为2+22.(2)因为x>y>0,所以x-y>0,所以0<y(x-y)≤y+(x-y)22=x24,所以x2+4y(x-y)≥x2+16x2≥2x2·16x2=8,当且仅当y=x-y,x2=16x2,x>y>0,即x=2,y=1时,等号成立,故x2+4y(x-y)的最小值为8.10.解析 (1)依题意可知需安装玻璃的块数为am=x-1,所以m=ax-1,y=6400x+50ax-1+100ax-12(x-1)=6400x+50a+100a2x-1(x∈N,且x≥2).(2)y=6400x+50a+100a2x-16
=10064(x-1)+a2x-1+50a+6400.∵x∈N,且x≥2,∴x-1>0,∴y≥20064(x-1)·a2x-1+50a+6400=1650a+6400,当且仅当64(x-1)=a2x-1,即x=a8+1时,等号成立,又∵a=56,∴当x=8时,ymin=98800.∴安装8根立柱时,总造价最低.11.解析 因为(x6+2y2)2=x2(6+2y2)=3·2x21+y23≤3·2x2+1+y2322=3×922=2434,当且仅当2x2=1+y23,2x2+y23=8,即x=32,y=422时,等号成立,所以x6+2y2≤2434=932,故x6+2y2的最大值为932.6
