专题强化练2 实数比较大小的方法一、单项选择题 1.()已知0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )A.a3>b3B.1a<1bC.a2>abD.0<b-a<12.(2020吉林白城洮南第一中学高一月考,)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是( )A.c≥b>aB.c>a>bC.a>c≥bD.c>a≥b3.(2020浙江杭州学军中学高一上月考,)已知0<a<1b,且M=11+a-b1+b,N=a1+a-11+b,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定4.()已知a,b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x,y的大小关系是( )A.x≤yB.x≥yC.x<yD.x>y5.()若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式的值最大的是( )A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.126.()已知a,b,c∈(0,+∞),若ca+b<ab+c<bc+a,则( )A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a7.()若x>0,y>0,a=x+y1+x+y,b=x1+x+y1+y,则a与b的大小关系为( )A.a>bB.a<bC.a≤bD.a≥b二、填空题6
8.()已知a+b>0,则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是 . 9.()若a>b>c>0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系是 .(用“>”连接) 10.()已知a<b<c,则a2b+b2c+c2a ab2+bc2+ca2.(填“>”“<”或“=”) 三、解答题11.()设M=(x+2)(x+3),N=(x+1)(x+4)-a+2.(1)当a=2时,比较M,N的大小;(2)当a∈R时,比较M,N的大小.12.(2020江苏淮安涟水第一中学高一上月考,)(1)设a>0,b>0,求证:a3+b3≥ab2+a2b;(2)设x,y∈R,求证:x2+y2+5≥2(2x+y).13.(2020湖北天门高一联考,)(1)设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小;(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞)且1a>1b,x>y,求证:xx+a>yy+b.6
答案全解全析第二章 等式与不等式专题强化练2 实数比较大小的方法6
1.D2.A3.A4.B5.A6.A7.B一、单项选择题1.D 因为0<a<b<1,所以a3<b3,1a>1b,a2<ab,0<b-a<1,故A,B,C不成立,D成立.2.A 因为a2=2a+c-b-1,所以(a-1)2=c-b≥0,所以c≥b,因为a+b2+1=0,所以a=-b2-1,所以b-a=b+122+34>0,所以b>a,所以c≥b>a.3.A 因为0<a<1b,所以0<ab<1,所以M-N=11+a-b1+b-a1+a-11+b=1-a1+a+1-b1+b=(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b)(1+a)(1+b)=2(1-ab)(1+a)(1+b)>0,因此M>N.4.B x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)2≥0,即x≥y.故选B.5.A 令a1=14,a2=34,b1=14,b2=34,则a1b1+a2b2=1016=58,a1a2+b1b2=616=38,a1b2+a2b1=616=38,∵58>12>38,∴代数式的值最大的是a1b1+a2b2.6.A 因为ca+b<ab+c<bc+a,所以ca+b+1<ab+c+1<bc+a+1,即a+b+ca+b<a+b+cb+c<a+b+cc+a,又因为a,b,c∈(0,+∞),所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c;由b+c>c+a可得b>a,所以c<a<b.故选A.7.B ∵x>0,y>0,∴x+y+1>0,∴b(1+x+y)=x1+x(1+x+y)+y1+y(1+x+y)=x+xy1+x+xy1+y+y>x+y,∴b>x+y1+x+y=a.故选B.二、填空题8.答案 ab2+ba2≥1a+1b6
解析 ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)·1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴(a+b)(a-b)2a2b2≥0,∴ab2+ba2≥1a+1b.9.答案 z>y>x解析 解法一:∵y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理,可得z>y,∴z>y>x.解法二:令a=3,b=2,c=1,则x=18,y=20,z=26,故z>y>x.10.答案 <解析 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)=(a-b)(a-c)(b-c).∵a<b<c,∴a-b<0,a-c<0,b-c<0,∴(a-b)(a-c)(b-c)<0,∴a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.三、解答题11.解析 (1)当a=2时,N=(x+1)(x+4),则M-N=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0,所以M>N.(2)M-N=(x+2)(x+3)-[(x+1)(x+4)-a+2]=(x2+5x+6)-(x2+5x+6-a)=a.①当a>0时,M-N>0,则M>N;②当a=0时,M-N=0,则M=N;③当a<0时,M-N<0,则M<N.6
12.证明 (1)a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2,因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2≥0,所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,所以a3+b3≥ab2+a2b.(2)因为x2+y2+5-2(2x+y)=x2+y2+5-4x-2y=x2-4x+4+y2-2y+1=(x-2)2+(y-1)2≥0,所以x2+y2+5≥2(2x+y).13.解析 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).因为x<y<0,所以xy>0,x-y<0,所以-2xy(x-y)>0,所以(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).(2)证明:xx+a-yy+b=bx-ay(x+a)(y+b).因为1a>1b且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0.又因为x>y>0,所以bx>ay,x+a>0,y+b>0,所以xx+a>yy+b.6
