2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求）)1.命题“，”的否定是（）A.䁕B.䁕C.䁕D.䁕2.下列命题中正确的是（）A.若‸，‸，则B.若‸，则‸‸‸C.若‸，㜳，则‸㜳D.若‸，㜳，则㜳3.在等比数列中，已知，则ǤǤǤA.B.C.D.4.已知log，log，依次成等差数列．则在平面直角坐标系中，点䁕的轨迹为（）A.B.C.D.5.设，则关于的不等式的解集是（）A.䁕䁕B.䁕试卷第1页，总8页,C.䁕D.䁕䁕6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”Ǥͺ年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲Ǥͺ年，英国数学家马西森指出此法符合年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将至㘮中能被除余且被ͺ除余的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）A.B.ͺC.D.ͺ7.已知双曲线䁕‸的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲‸㘮ͺ线的渐近线与圆＝相切，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.抛物线＝的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且＝，的面积为，则抛物线的方程为（）A.＝B.＝C.＝D.＝9.在数列中，＝，ͺ＝晦䁕，若数列‸满足‸＝，则数列‸的最大项为（）A.第ͺ项B.第项C.第ͺ项D.第项10.，是椭圆‸‸的两焦点，是椭圆上任意一点，从任一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线11.下列表达式的最小值为的有（）‸A.当‸＝时，‸B.当‸＝时，‸C.D.12.“存在正整数，使不等式lgͺlg都成立”的一个充分条件是（）ͺͺA.B.C.D.13.已知抛物线上一点到准线的距离为㜳，到直线为㜳，则㜳㜳的最小值为()A.B.C.ͺD.ͺ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）)14.关于的不等式的解集为解䁕，则解＝________．试卷第2页，总8页,15.在平面直角坐标系，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为________．晦ͺ16.设单调递增的等差数列的前项和是，若和是方程ͺ＝的两根，则数列的前项和的最小值为________．17.已知双曲线‸䁕‸的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若‸的周长为，则的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）)18.已知：曲线表示双曲线；解：曲线表示焦点在轴上的椭圆（1）分别求出条件，解中的实数的取值范围；（2）甲同学认为“是解的充分条件”，乙同学认为“是解的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由．19.某企业用万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加万元.求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数N晦的函数关系；试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？20.已知等比数列的公比解＝，且，，成等差数列．（1）求及；（2）设‸＝，求数列‸的前项和．loglog21.已知抛物线＝上一点䁕到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点．证明：cos为定值，并求出该定值．22.已知数列中，＝，ǤǤǤ，晦．试卷第3页，总8页,（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对任意的晦，都有成立，求实数的取值范围．23.已知椭圆‸过点䁕，且离心率为．‸（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率分别为，的两条直线，分别交椭圆于点，，且＝，证明：直线过定点．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求）1.D2.A3.D4.C5.D6.B7.C8.C9.B10.A11.B,C12.B,D13.A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.15.16.ͺ17.三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18.若曲线表示双曲线，则，得；因此满足条件的实数的取值范围是䁕．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，需，得，得或．因此满足条件解的实数的取值范围是䁕．甲同学的判断正确，乙同学的判断不正确．因为解，所以是解的充分条件，因为解推不出，所以不是解的必要条件．试卷第5页，总8页,19.解：由题意知，年总收入为万元，则年维护总费用为ǤǤǤͺ万元，所以总利润为ͺ，N晦，即ͺ㘮，N晦.年平均利润为ͺ㘮ͺ，∵，∴，当且仅当，即时取“＝”；所以ͺ.即这套设备使用年，可使年平均利润最大，且年平均利润最大为ͺ万元．20.由已知得＝，＝，＝，又，，成等差数列，∴＝，∴＝，解得＝，故解；∵‸，loglog∴＝‸‸‸ǤǤǤ‸．21.＝，∴＝，∴䁕在抛物线上，∴＝，解得＝，所以抛物线的标准方程为＝，准线的方程为＝；证明：设䁕，䁕，直线的斜率为＝tan，则直线方程为＝；将此式代入＝，得＝，故，＝；记直线与的交点为䁕，则，＝，故直线的方程为；试卷第6页，总8页,令＝，得的横坐标＝，所以＝＝；tancos所以cos＝cos＝sin＝sin＝tansin为定值．22.数列中，＝，ǤǤǤ，晦．可得＝时，，即，时，ǤǤǤ，又ǤǤǤ，两式相减可得，化为＝，，可得＝＝，即，，䁕综上可得；䁕＝，，则前项和＝ǤǤǤ，＝ǤǤǤ，相减可得＝ǤǤǤ＝，化为；对任意的晦，都有成立，即为的最小值，由＝可得，，，可得时，递增，当＝或时，取得最小值，则．23.椭圆‸过点䁕，可得‸＝，且离心率为．‸＝，解得＝，试卷第7页，总8页,所求椭圆方程为：当直线斜率不存在时，设直线方程为＝，则䁕，䁕，䁕，则，∴＝………当直线斜率存在时，设直线方程为：＝‸，与椭圆方程联立：，‸得‸‸＝，‸设䁕，䁕，有‸晦……………‸则‸将*式代入化简可得：，即‸‸＝，∴＝‸………‸直线＝‸‸＝‸，恒过定点䁕………试卷第8页，总8页
