2019-2020学年山东省某校高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分,第1-10题为单选题,第11-13题为多选题,全部选对得4分,漏选得2分.选错得0分.))1.椭圆=的焦距为()A.B.C.D.2.已知命题쳌䁟,lg䁟,则¬是()A.䁟,lg쳌䁟B.쳌䁟,lg쳌䁟C.쳌䁟,lg䁟D.쳌䁟,lg䁟3.已知双曲线쳌䁟的焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.=B.=C.=D.=4.若抛物线=的焦点到准线的距离为,则=()A.B.C.D.5.在四棱锥䁩香中,底面䁩香是平行四边形,设䁩,,,则香可表示为()A.B.C.D.6.椭圆的焦点为,,过点作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的弦长为,的周长为䁟,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.已知双曲线쳌䁟쳌䁟的渐近线被圆=䁟截得的弦长为,双曲线的右焦点为的圆心,则该双曲线的方程为()A.B.C.D.䁟䁟8.物线=上的点到直线=䁟的距离的最小值是()A.B.C.D.䁟9.已知直线=䁟与抛物线=相交于䁩、两点,为抛物线的焦点且满足䁩=,则的值是()A.B.C.D.10.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线经过点,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则试卷第1页,总8页,的最小值为()A.B.C.D.11.给出下列选项中,能成为쳌充分条件的是()A.쳌B.是曲线上的点C.䁟D.是双曲线上的点12.若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中正确的是()A.若,则为椭图B.若.则为双曲线C.若为双曲线,则焦距为D.若为焦点在轴上的椭圆,则13.下列说法正确的是()A.椭圆上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线=‸上两点䁩.,则弦䁩经过抛物线焦点的充要条件为‸D.若直线与圆锥曲线有一个公共点,则该直线和圆锥曲线相切二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.))14.若“䁟䁃,䁟”是真命题,则实数的取值范围为________.15.双曲线쳌䁟쳌䁟的左右焦点为,=,以坐标原点为圆心,以为半径作圆䁩,圆䁩与双曲线的一个交点为,若三角形的面积为,则的离心率为________.16.设䁩,分别是直线=和=上的动点,满足䁩=,则䁩的中点的轨迹方程为________.17.卵形线是需见曲线的一种,分笛卡尔卵用线和卡西尼卵形线,卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫焦点)的距离之积等于常数的点的轨迹.某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究,设䁟,䁟是平面内的两个定点,=(是常数).得出卡西尼卵形线的相关结论:①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形;②若=,则曲线过原点;③若䁟,其轨迹为线段.其中正确命题的序号是________.试卷第2页,总8页,三、解答题《本大题共6小题,满分82分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步握,))18.已知䁩=쳌䁟쳌䁟,=䁟,若䁩是的必要不充分条件,求实数的取值范围.19.已知‸:方程=䁟表示圆::方程쳌䁟表示焦点在轴上的椭圆.Ⅰ若‸为真命题,求实数的取值范围;Ⅱ若命题‸、有且仅有一个为真,求实数的取值范围.20.已知椭圆쳌쳌䁟的焦距为,短半轴的长为,过点且斜率为的直线与椭圆交于䁩,两点.求椭圆的方程;求弦䁩的长.21.已知点为抛物线=的焦点,过点作斜率为的直线与抛物线交于䁩,两点,与准线交于点,设点香为抛物线准线与轴的交点.Ⅰ若=,求香䁩的面积;Ⅱ若䁩,䁩,证明:为定值.22.已知点到直线=的距离比点到点䁩䁟的距离多.Ⅰ求点的轨迹方程:Ⅱ经过点䁟的动直线与点的轨交于,两点,是否存在定点使得=?若存在,求出点的坐标:若不存在,请说明理由,23.已知椭圆=的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.Ⅰ求双曲线的方程;Ⅱ若直线与相交于,两点,与相交于,两点,且,求的取值范围.四、附加题《本小题满分0分,计入总分))24.如果你留心使会发现,汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状,把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状,这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束,又能发出较暗的,照射近距离的光线.我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,明亮的光束,是试卷第3页,总8页,由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的,灯泡位于抛物面的焦点上,灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束,再经过配光镜的散射、偏转作用,以达到照亮路面的效果,这样的灯光我们通常称为远光灯:而较暗的光线,不是由反射镜焦点的光源射出的,光线的行进与抛物线的对称轴不平行,光线只能向上和向下照射,所以照射距离并不远,如果把向上射出的光线遮住.车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了.请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理,并证明.试卷第4页,总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省某校高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分,第1-10题为单选题,第11-13题为多选题,全部选对得4分,漏选得2分.选错得0分.)1.B2.B3.B4.D5.D6.C7.B8.C9.C10.B11.A,B,C12.B,D13.A,C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.)14.쳌15..16.17.①②三、解答题《本大题共6小题,满分82分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步握,)18.由题意得䁩=쳌䁟쳌䁟=或쳌쳌䁟,=䁟=或,若”䁩”是““的必要不充分条件,则⫋䁩,则쳌,解得䁟;쳌䁟故实数的取值范围是䁟.试卷第5页,总8页,19.(1)命题‸:方程=䁟,∴=,∴쳌䁟且쳌䁟,∴实数的取值范围:䁟.(2)命题:方程쳌䁟表示焦点在轴上的椭圆.∴䁟当‸为真,为假时,,无解,当‸为假,为真时,,解得.䁟综上,实数的取值范围为:.20.解:由已知可得:,,,联立解得:,,.∴椭圆的标准方程为.直线的方程为:,即.设䁩,.,联立,化为:䁟,∴,,∴䁩䁃䁃.21.(1):由的坐标分别为䁟,直线的斜率为,所以直线的方程为=,设䁩,两点的坐标分别为,,由直线与抛物线联立得=䁟,所以=,=.于是䁩==.点香到直线=䁟的距离,所以;(2)证明:设直线=.则,联立可得=䁟,,∵䁩,䁩,所以=,=,∴,.试卷第6页,总8页,∴䁟(定值).22.(1)因为点到䁩䁟的距离比它到直线=的距离小,所以点在直线=的上方,点到䁩䁟的距离与它到直线=的距离相等所以点的轨迹是以䁩为焦点,=为准线的抛物线,所以曲线的方程为=;(2)当动直线的斜率为䁟时,由对称性可得在轴上,设为䁟,设直线的方程为=,联立,整理得=䁟,设,,则=,=,所以䁟,因为䁟,所以=,则䁟,综上,的坐标䁟.23.(1)由椭圆=的左右顶点为䁟,䁟,可得=,又椭圆的上顶点䁟到双曲线的渐近线=䁟的距离为,由点到直线的距离公式有可得=,所以双曲线的方程为=;(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为=,代入=,消去并整理得=䁟,䁟要与相交于两点,则应有쳌䁟䁟①,쳌设、,则有:,.又==,又,所以有䁃==…②,将=,代入=,消去并整理得:=䁟,要有两交点,则=쳌䁟쳌…③由①②③有:䁟.设、,则有:,.所以,试卷第7页,总8页,又=,代入有:=,令=,则䁟䁃,令,又䁟䁃,所以쳌䁟在䁟䁃内恒成立,故函数在䁟䁃内单调递增,故䁟䁃,则有䁟䁟䁃.四、附加题《本小题满分0分,计入总分)24.设抛物线过点的切线为直线,法线交轴于,由光的反射性质可知=,䁟由=‸,不妨设在第一象限,䁟,‸当䁟=䁟时,直线与轴重合,显然与轴重合,当䁟䁟时,设直线的斜率为,䁟则直线的方程为:=䁟,‸代入抛物线方程可得:‸‸=䁟,䁟䁟‸令=‸‸䁟䁟=䁟可得,䁟䁟故法线的斜率为.‸不妨设在第一象限,设=,=,=,䁟䁟‸䁟则tan,tan‸,‸䁟䁟‸䁟‸䁟‸䁟‸‸‸䁟䁟䁟䁟‸䁟䁟∴tan=tan=tan䁟‸䁟‸‸‸‸‸‸.䁟䁟䁟‸䁟‸∴tantan=䁟,故=,∴轴.试卷第8页,总8页