2019-2020学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1.已知集合＝‸㈱㈱,＝′㈱log′香，则＝（）A.㈱B.‸㈱㈱C.‸㈱㈱㈱D.′㈱‸香′香2.复数，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于（）香䁕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量ሺ㈱㈱ሺ㈱，若向量香与垂直，则㈱㈱ሺA.‸B.‸C.D.‸㌠㠰4.设＝‸㌠，‸㌠，则有（）A.香ݍݍB.香ݍݍC.ݍ香ݍD.ݍ香ݍ5.已知等差数列，＝，＝，＝㔷，若前项和为，且＝，则的值为（）A.B.‸C.D.′6.已知直线ሺݍ‸㈱ݍ‸过点ሺ㈱，则的最小值为（）A.B.C.㠰D.′7.函数cos′的部分图象大致为（）′香A.B.C.D.8.定义在上的函数ሺ′满足ሺ香′＝香ሺ′，ሺ′＝ሺ′，且当′ሺ香㈱‸试卷第1页，总8页,′时，ሺ′＝，则ሺlog＝（）A.B.香C.D.香′香′㈱′香‸9.已知函数ሺ′，对于实数，使ሺ香香ሺݍሺ‸成立′香㈱′‸的一个必要不充分条件是（）A.香香香B.‸香香C.香D.香香或ݍ10.已知是第一象限角，sinሺ香，则tanሺሺA.B.香C.D.香11.已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与′轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，，终边上分别有点ሺ㈱，ሺ㈱，且＝，则的最小值为（）A.B.C.D.ln′㈱′ݍ‸12.已知函数ሺ′′，若函数＝ሺ′香（为常数）有三个零点，′′㈱′‸则实数的取值范围为（）A.ሺ㈱B.ሺ香㈱C.香ሺ‸㈱D.ሺ香㈱香ሺ㈱二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13.设函数ሺ′＝′ሺݍ‸㈱，′ሺ香㈱，ሺ′香‸的否定是：设函数ሺ′＝′ሺݍ‸㈱，________．14.如图，ሺ′是可导函数．直线是曲线ሺ′在′处的切线，令ሺ′ሺ′，则ሺ________．′15.在䁨中，，，分别为内角，，䁨的对边，若sin、sin、sin䁨成等差数列㌠cos，䁨＝，则的值为________．16.对于下列命题：①对于实数，，，若ݍ，则ݍ．试卷第2页，总8页,②′ݍ‸是′ݍ‸的充分而不必要条件．③在（增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关“则此人第二天走了九十六里路．④设函数ሺ′的定又域为，若存在常数：ݍ‸，使㈱ሺ′㈱㈱′㈱对一切实数工均成立、则称ሺ′为“倍约束函数，所以函数ሺ′＝′为“倍约束函数”．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）)17.在䁨中，角、、䁨的对边分别是、、，且sin＝sinsin䁨ሺcos．（1）求证：、、成等差数列；（2）若＝，＝，求䁨的面积18.已知函数ሺ′′sin′的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为ሺ′．（1）求函数ሺ′的表达式及其周期；（2）求函数ሺ′在′‸㈱上的对称轴、对称中心及其单调增区间19.设数列满足：㈱香ሺ．（1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；（2）若＝logሺ，求数列的前项和．20.已知函数ሺ′ln′′，且曲线＝ሺ′在点（㈱ሺ）处的切线方程为′′香＝‸．（1）求实数，的值及函数ሺ′的单调区间；（2）若关于′的不等式ሺ′香′恒成立，求实数的取值范围．′21.新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针．近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车′的刹车距离（米）与其车速′（千米/小时）满足下列关系：′（，‸‸是常数）．（行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离）．如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离（米）与该车的车速′（千米/小时）的关系图．该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润（单位：万元）为㌠′香‸㌠′，在乙地的销售利润（单位：万元）为＝′，其中′为销售量（单位：辆）．ሺⅠ若该公司在两地共销售‸辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润是多少？ሺⅡ如果要求刹车距离不超过㌠米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度．试卷第3页，总8页,22.已知函数ሺ′＝′香′香（为自然对数的底数）．ሺⅠ求函数ሺ′的极值；ሺⅡ问：是否存在实数，使得ሺ′有两个相异零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.D3.B4.B5.C6.D7.A8.B9.C10.D11.C12.B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13.′ሺ香㈱，ሺ′‸14.香15.16.①③三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.证明：由题设条件及正弦定理，得＝ሺcos，由余弦定理，得cos＝香＝香，所以ሺ＝，所以＝．因此、、成等差数数列，得证．因为＝，＝，由（1）可得＝㠰，香香所以cos䁨香，因此sin䁨，所以䁨的面积．18.函数ሺ′′sin′sin′cos′＝sinሺ′，将函数ሺ′的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象对应的函数解析式为ሺ′＝ሺ′香＝sinሺ′香＝sinሺ′香，试卷第5页，总8页,所以函数ሺ′的最小正周期为；因为′‸㈱，所以′香香㈱，令sinሺ′香，得′香，所以′，即为所求函数ሺ′在‸㈱上的对称轴；令sinሺ′香‸，得′香‸，所以′，所以函数ሺ′在‸㈱上的对称中心为ሺ㈱；由于′香香㈱，则只需′香香㈱，所以′‸㈱．所以函数ሺ′在‸㈱上单调增区间是‸㈱．19.证明：由㈱香ሺ，所以ሺ，又＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．香所以＝ሺ，香即ሺ香；由（1）得ሺሺ香香ሺ香ሺ香香，香‸ሺ‸香ሺ香㌠㌠㌠ሺ香香所以＝ሺሺ香ሺ‸ሺሺ香‸香香香ሺ香香ሺ‸ሺ香香香香＝香ሺ香．20.因为ሺ′ln′′ሺ′ݍ‸，′′′香所以于ሺ′香ሺ′ݍ‸′′′因为曲线＝ሺ′在点（㈱ሺ）处的切线方程为′香＝‸，ሺ则有，ሺ香即解得＝，＝，试卷第6页，总8页,′′香ሺ′香ሺ′所以ሺ′ሺ′ݍ‸；′′由ሺ′ݍ‸，得′ݍ，所以函数＝ሺ′单调递增区间是ሺ㈱，由ሺ′香‸，得‸香′香，所以函数＝ሺ′单调递减区间是ሺ‸㈱；由题意，不等式ሺ′香′ሺ′ݍ‸恒成立，′即′ሺ′香′香′ሺ′ݍ‸恒成立，即′ln′′香′香′′ln′′香′ሺ′ݍ‸恒成立，令ሺ′′ln′′香′ሺ′ݍ‸，则只需ሺ′min，易得ሺ′＝ln′′香，由ሺ′＝‸，得′＝，设ሺ′＝ln′′香，′ݍ‸，因为ሺ′ݍ‸，所以ሺ′＝ln′′香在ሺ‸㈱上单调递增，′即ሺ′＝ln′′香在ሺ‸㈱上单调递增，又∵ሺ＝‸，所以当′ሺ‸㈱时，ሺ′香‸，ሺ′单调递减，当′ሺ㈱时，ሺ′ݍ‸，ሺ′单调递增，所以ሺ′minሺ香，所以香，即所求实数的范围是ሺ香㈱香．21.（1）设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车′辆，则在乙地销售该品牌的汽车‸香′辆，且′‸㈱‸．依题意，可得利润＝㌠′香‸㌠′ሺ‸香′＝香‸㌠′㌠′‸＝香‸㌠ሺ′香‸㌠㌠‸．因为′‸㈱‸，且′，所以，当′＝‸或′＝时，max＝．即当甲地销售该新能源品牌的汽车‸辆或辆时，公司获得的总利润最大值为万元．‸‸㔷㌠‸‸（2）由题设条件，得，‸‸㔷㌠‸‸解得：，＝‸，‸‸′′所以ሺ′‸．‸‸‸‸′′令㌠，即′′香‸‸‸，解得香㠰′㠰‸．‸‸‸‸因为′‸，所以‸′㠰‸．故该新能源汽车行驶的最大速度是㠰‸千米/小时．22.（1）因为ሺ′＝′香′香，所以ሺ′＝′香．①‸时ሺ′香‸，试卷第7页，总8页,所′时ሺ′香‸，所以ሺ′在上单调递减，此时，函数ሺ′无极值．②ݍ‸时，令ሺ′＝′香，得′＝香ln，′ሺ香㈱香ln时ሺ′香‸，所以ሺ′在ሺ香㈱香ln上单调递减；′ሺ香ln㈱时ሺ′ݍ‸，所以ሺ′在ሺ香ln㈱上单调递增．此时，函数ሺ′有极小值ሺ香ln＝ln香，无极大值．（2）假设存在实数，使函数ሺ′有两个相异零点．由ሺⅠ知：①‸时，函数ሺ′在上单调递减；ሺ‸＝‸，所以此时函数ሺ′仅有一个零点；②‸香香时香lnݍ‸，香lnݍ香ln因为ሺ‸＝‸，则由（1）可得ሺ香ln香‸；取ሺ香lnln香，‸香香，令ሺln香，ሺ‸㈱，可得香香ሺ香ሺ香香香，所以ሺ在ሺ‸㈱单调递减，所以ሺݍሺ＝‸，而ሺ香lnln香ݍ‸．此时，函数ሺ′在ሺ香ln㈱香ln上也有一个零点．所以，当ሺ‸㈱时，函数ሺ′有两个相异零点．③当＝时，香ln＝‸，所以ሺ′ሺ‸＝‸，此时函数ሺ′仅有一个零点，④当ݍ时香ln香‸，因ሺ‸＝‸，则由ሺⅠሺ香ln香‸；香令函数ሺ＝香ln，所以ሺ＝香，因为ݍ，所以ሺ在ሺ㈱递增，所以ሺݍሺ＝ݍ‸，所以ݍln，即香香香ln．又ሺ香＝香ݍ‸，所以函数ሺ′在ሺ香㈱香ln上也有一个零点，所以，ݍ时，函数ሺ′有两个相异零点．综上述，ሺ‸㈱ሺ㈱时，函数ሺ′有两个相异零点．试卷第8页，总8页
