广东省2022届高三开学阶段性质量检测数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时150分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B．C．D．2．已知，则A．B．C．D．3．已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为A．B．C．D．4．下列区间中，函数单调递增的区间是A．B．C．D．5．若，且，则A．B．C．D．6．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且成等差数列，则直线的斜率,A．B．C．D．7．若过点可以作曲线的三条切线，则A．B．C．D．或8．甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》，《星火》的票价为50元／人，每人限购一张票，甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞，他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．A．720B．360C．180D．90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为．17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的是A．男生样本量为30B．每个女生人样的概率均为C．所有样本的均值为166cmD．所有样本的方差为22.2cm210．已知，点满足，则下列说法中正确的是A．当时，的最小值为1B．当时，C．当时，的面积为定值D．当时，11．已知点在圆上，点，，则下列说法中正确的是A．点到直线的距离小于6B．点到直线的距离大于2C．的最大值为D．的最大值为12．已知函数有两个零点，则A．的取值范围为B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是偶函数，则的最大值为.,14．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为.15．的展开式中，项的系数为.16．将正三角形(1)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图(2)：将图(2)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图(3)；如此类推，将图（n）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图(n+1)．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图(1)中正三角形的边长为1，则图（n）的周长为，图(n)的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足，.(1)记，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.18．（12分）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%.王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．(1)设X为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；(2)核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．19．(12分)已知中，，的平分线交于点，.(1)若，求的长度；(2)求面积的最小值．,20．(12分)如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，.(1)证明：平面平面(2)若，点在棱上，且二面角的大小为45°，求.21．(12分)在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为.记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线交曲线于两点，交曲线于两点，线段的中点为，线段的中点为.证明：直线过定点，并求出该定点坐标．22．（12分）已知函数，其中.(1)若不等式恒成立，求实数的值；(2)讨论方程的解的个数．,数学参考答案选择题（1-8小题每题5分，共40分；9-12题每小题5分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）题号123456答案DABCCD题号789101112答案BCACADBCDBCD,,,,填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．【答案】14．【答案】15．【答案】21016．【答案】；,,解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（10分）(1)依题意，，故.………………………………1分因为，，所以．…………………………………3分因此，是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为．…………5分(2)解法一：因为．由(1)知.………．6分当时，…………7分.当时，…………9分.,因此，…………10分解法二：当时，…………7分.当时，…………9分由于也满足上式，故…………10分18．【答案】（12分）(1)依题意，，………………………………………………………2分故.……………………………………………………4分(2)设事件A为“核酸检测结果为阳性”，事件B为“密切接触者被感染”．依题意，，，.……………………6分,所以…………………．9分，………11分因此，已知密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性的条件下，他被感染的概率为90.6%．……………………………………………………………………………12分19．【答案】（12分）(1)因为，设，则.………………2分在中，由余弦定理，，…3分由，可得，故．……………………………4分又，………………………………………………5分所以，.……………………………………6分(2)设，则，，.在中，由正弦定理，，故.…7分在中，由正弦定理，，故.…8分因此，,………………………10分，当且仅当即时取等号，故面积的最小值为.…………12分20．【答案】（12分）(1)设中点为，连接.在等边三角形中，有.………………………………………………1分在直角三角形中，有.又，所以，进而有，即.…………………………………………………………………………3分又，平面，平面，所以平面.……………………………………………4分又平面，所以平面平面.………………………………5分,(2)不妨设.在直角三角形中，．在底面内作，则由(1)可知两两垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……………………………………………………………6分则，，，，，，，.………7分设，则.设平面的法向量为，则………………………………………………………………8分令，则.……………………………………10分又是平面的一个法向量，所以，……………11分解得，即.……………………………………………………………12分21．【答案】（12分）(1)设，依题意，，……………………………………2分化简整理得曲线的方程为.…………………………………………4分,(2)设.①若直线都存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为.由消去，整理得.当时，这个方程变为，只有一解，直线与曲线C只有一个交点，不合题意；当时，直线与曲线恒有两个交点．由韦达定理，，……………………………………………………．5分故线段的中点为.……………………………………………6分同理，线段的中点为.………………………………………7分(i)若，则，……………………………8分直线的方程为，即.………………………………………………………………9分此时，直线恒过点.(ii)若，则，或，直线的方程为.此时，直线也过点.………………………………………………………10分②若直线中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，不妨设的斜率为0，则，．此时，直线的方程为.此时，直线也过点.………………………………………………………11分,综上，直线过定点.………………………………………………………12分22．【答案】（12分）(1)令，则，.…1分当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增．…………………2分①若，则，，符合题意：……………3分②若，则，，不合题意：………4分③若，则，，不合题意：…………．5分综上，.…………………………………………………………………………6分(2)令，则.………………7分令，当时，，与异号．由于.x+0-↗↘的最大值为.………………………………………8分①当时，，故，此时是增函数，又因为，，所以有唯一零点.…………………………………………………………9分,②当时，，，.令，则，是增函数，故当时，，即．因此，有且只有两个零点，．结合的单调性，可得x(0，xl)xl(x1，x2)x2（x2,+∞）h′(x)+0-0+h(x)↗极大值↘极小值↗令，则，故当时，，进而，.由于是在区间内的最大值，是在区间内的最小值，且，故，.……………………………10分又因为，，所以有且只有三个零点，，.…………．11分综上，当时，方程有且仅有1个解；当时，方程有且仅有3个解．………………………………………………………12分
