河北省部分学校2022届高三上学期第一次考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．问答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数。一、选择题：本题共8小题，每小雁5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．命题“，”的否定为A．，B．，C．，D．，3．已知是奇函数，当时，，则A．1B．0C．D．4．已知函数，则A．B．C．D．5．已知，，，则A．B．C．D．,6．已知，则A．1B．2C．D．7．已知，为实数，则“，”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为A．1B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为10．函数的大致图像可能是A．B．,C．D．11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则A．函数在上单调递增B．若，则C．若，则的最小值为0D．若，则的最小值为12，关于函数，下列说法正确的是A．有3个极值点B．C．为偶函数D．在上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线在处的切线与直线垂直，则____________．14．设函数，则____________．15．已知函数在上单调递增，则的取值范围是____________．16．已知函数与函数,的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则____________，____________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求的定义域；（2）若，求的解析式．18．（12分）已知函数．（1）求图像的对称中心；（2）求在上的值域．19．（12分）已知函数．（1）求的极值；（2）判断函数的单调性．20．（12分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集,（2）当时，若关于的不等式在上有解，求的取值范围．21．（12分）已知函数的最小正周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数．22．（12分）已知函数．（1）求过点与曲线相切的切线方程．（2）若，函数有且只有一个零点，证明：．河北省部分学校2022届高三上学期第一次考试数学参考答案1．C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力．因为，，故．2．B【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理能力．,存在量词命题的否定是全称量词命题．3．D【解析】本题考查函数的奇偶性，考查推理论证能力．．4．A【解析】本题考查导数的计算，考查运算求解能力．因为，所以．5．C【解析】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查推理论证能力．因为，，，所以．6．B【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．由，解得．7．A【解析】本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理能力．若“，”，则“”成立．但是当“”成立时，“，”不一定成立，比如，，满“”，而不满足“，”．8．B【解析】本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．由题意，原不等式可变形为，即．设，则当时，恒成立．,因为，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增．因为，所以，．因为在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得．因为，所以；令，因为，所以在上单调递增，所以，所以，则，故正实数的最小值为．9．AB【解析】本题考查三角函数知识，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．，故A正确；，故B正确；若终边上有一点，则，故C不正确；若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确．10．ABD【解析】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力．当时，的大致图像如选项A所示；当时，的大致图像如选项B所示；当时，的大致图像如选项D所示．11．BCD【解析】本题考查三角函数知识，考查信息提取及运算求解能力．,因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；因为，所以，故B正确；，令，则，所以，所以，故C正确；因为，所以，故D正确．12．BCD【解析】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力．因为，且，所以．因为，所以是偶函数．因为当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以，且只有1个极值点．故BCD正确．13．【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．因为，所以，故．,14．【解析】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力．因为．15．【解析】本题考查导数的应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力．因为，所以对恒成立，则，即．16．；【解析】本题考查三角函数的图像及其性质，考查运算求解能力．由题意可知将函数图像上的点向右平移个单位长度，可得的图像与轴负半轴的第一个交点，坐标为，因为的图像与轴正半轴的第一个交点为，所以，解得，所以，，故．,17．解：（1）由，得，即的定义域为．（2）令，则，则，故．评分细则：【1】第一问考虑不周到，不给分．【2】第二问解法二：因为，所以．18．解：（1）．令，，得，，所以图像的对称中心为，．（2）因为，所以，所以，则．即在上的值域是．,评分细则：【1】第一问中若漏掉，则扣1分；若对称中心写为，，则同样扣1分；【2】第二问中若直接代入端点求解，不给分．19．解：（1）因为，所以令，得．因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值．（2）因为，所以．令，得；令，得．所以在上单调递减，在单调递增．评分细则：【1】第一问中若没有交待无极大值，扣1分；【2】第二问中若单调区间里没有，不扣分；若写成在上单调递减，则扣2分．20．解：（1）当时，，不等式，即，所以，,解得，即所求不等式的解集为．（2）当时，．因为在上有解，所以在上有解．令，因为，在上均为增函数，所以在上是增函数．因为在上的值域为，所以的取值范围是．评分细则：【1】第一问中若没考虑到，则扣3分；【2】第二间中若的取值范围是，则扣1分．21．解：（1）．因为的最小正周期，所以，故．令，，得，，,所以的单调递增区间为，．（2）由（1）知．方程在上根的个数，即方程的根的个数．结合和的图像，如图所示．因为在上单调递减，在上单调递增，且，，所以结合图像可知函数在上有4个零点，即方程在上根的个数为4．评分细则：【1】第一问中若漏掉，则扣1分；【2】第二问中若解析里没有作出和的图像，不扣分．22．（1）解：设切点，则．因为，所以，所以切线方程为，将点代入，得．令，则，所以在上单调递增．因为，所以，所以切点为，故所求切线方程为．,（2）证明：因为，所以．设，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，所以．因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，即．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得最小值．因为，，，所以要使有唯一的零点，则，即，所以．设，则在上单调递减．因为，，所以，即．评分细则：【1】第一问中若没有说明在上单调递增，则扣1分；,【2】第二问用其他方法解答，只要解答正确则正常给分．
