2022届高三年级武汉市部分重点中学八月联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第（）象限A．一B．二C．三D．四3．若一圆台的上底面半径为1，且上、下底面半径和高的比为，则圆台的体积为（）A．B．C．D．4．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．是奇函数B．的最小正周期为C．在区间上单调递增D．的最小值为15．已知F是拋物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（）A．4B．6C．8D．106．已知，且，，则（）,A．B．C．D．7．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（）A．B．C．D．288．关于函数，．下列说法错误的是（）A．在处的切线方程为B．有两个零点C．存在唯一极小值点，且D．有两个极值点二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法：①对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和；③已知随机变量，若，则的值为④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．其中正确的选项是（）A．①B．②C．③D．④10．下列说法中正确的是（）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为11．已知圆锥曲线与（，）的公共焦点为，．点M为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线,的离心率为，则下列说法错误的是（）A．的离心率为B．的离心率为C．的渐近线方程为D．的渐近线方程为12．在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（）A．直线平面B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为C．异面直线AM与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的导函数为，且（其中e为自然对数的底数），则_________．14．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则___________．15．设点P是椭圆的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意一个动点，则长的最大值是________．16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1）________；（2）若，则_________．,图甲图乙四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）在①，；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知数列的前n项和为，满足_________．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前10项和．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．18．（本题12分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．19．（本题12分）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，时，（1）若，求c；（2）记（i）当k为何值时，是直角三角形．（ii）当k为何值时，使得有解．（写出满足条件的所有k的值）20．（本题12分）如图，且，，且，且，平面，．,（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值．21．（本题12分）在平面直角坐标系中，圆，，过B的直线l与圆A交于C，D两点，过B作直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹方程；（2）若不过坐标原点的直线与曲线E相交于M、N两点，点，且满足，求面积最大时直线的方程．22．（本题12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．2022届高三年级武汉市部分重点中学八月联考数学参考答案一、选择题：题号12345678答案CDCDBDAD二、选择题：题号9101112答案BCBDADABD三、填空题：13．14．115．16．581028,四、解答题：17．解：（1）选①，；，知数列是公差的等差数列，则，得，所以数列的通项公式为．选②；，知，得，，得，即，所以数列的通项公式为．选③；，得，则，所以因为，所以数列的通项公式为．（2）因为，所以，则，，，，，数列的前10项和为：．18．（1）；（2）分布列见解析，2．解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有,（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，则，，，，所以X的分布列为X0123P所以期望．19．（1）；（2）；（i）或；（ⅱ）（1）在中，由余弦定理可得：，即，所以，解得：或（舍）（2）（i）若，则，所以，若，则，所以，所以或时，为直角三角形，（ii）由正弦定理可得记，因为，所以，所以，所以当时，使得有解，20．（1）见解析；（2）；,（1）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，，，，，，，，．设为平面CDE的法向量，则，不妨令，可得；又，可得．所以，又∵直线平面CDE，∴平面CDE；（2）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令，可得．因此有，于是．,∴二面角的正弦值为；21．（1）；（2）．（1）由，则，于是点E的轨迹是以A，B为焦点长轴为的椭圆，设轨迹方程为，其中，，轨迹方程为，由于直线l不能与x轴重合，所以，则轨迹为：．（2）由题意可知，直线的斜率显然存在，设直线的方程为，，，由得，①，所以，所以，因为，,所以，所以，代入①得且，由于直线不能经过点，所以，所以，当且仅当，即时上式取等号，此时符合题意，所以直线的方程为．22．（1）的定义域为，．①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得或，令，得，所以在，上单调增，在上单调减；③当时，则，所以在上单调递增；④当时，令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；,当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2），则的定义域为，，若有两个极值点，，则方程的判别式，且，，所以，因为，所以，得，所以，设，其中，令得，又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，而∴，从而恒成立．
