2019-2020学年广东省某校部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．)1.抛物线的焦点坐标为香香香A.香䁞B.䁞C.䁞D.䁞2.若䁞䁞构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，3.方程＝表示的曲线是（）A.一个点B.一条直线C.两条直线D.双曲线4.如图，在平行六面体ܤܥ香ܤ香香ܥ香中，与ܤܥ的交点为．设香ܤ香，香ܥ香，香，则下列向量中与ܤ香相等的向量是（）A.B.C.D.5.曲线香与曲线香的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等6.设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为香和，则cos＝（）香香A.B.香香香香C.D.香香7.与圆＝香及圆香＝都外切的圆的圆心在（）试卷第1页，总8页
A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上8.以点䁞香䁞，ܤ香䁞香䁞，䁞䁞为顶点的三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.已知点在抛物线＝上，点在直线＝上，则的最小值是（）A.B.C.D.10.直三棱柱ܤܤ，ܤ＝，点ܥ，分别是ܤ，的中点，ܤ＝香香香香香香香香香＝香，则ܤܥ香与香所成角的余弦值是（）香香A.B.C.D.香香香11.已知双曲线香䁞的离心率＝，若，ܤ，是双曲线上任意三点，且，ܤ关于坐标原点对称，则直线，ܤ的斜率之积为（）A.B.C.D.12.已知空间直角坐标系中，是单位球内一定点，，ܤ，是球面上任意三点，且向量，ܤ，两两垂直，若＝ܤ（注：以表示点的坐标），则动点的轨迹是（）A.为球心，为半径的球面B.为球心，为半径的球面C.为球心，为半径的球面D.为球心，为半径的球面二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分．)13.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于香，则点到另一个焦点的距离等于________．14.已知、ܤ、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线与平面ܤ所成角的余弦值是________．15.已知椭圆香，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)16.已知空间三点䁞䁞，ܤ䁞香䁞，香䁞香䁞．试卷第2页，总8页
Ⅰ求以ܤ、为边的平行四边形的面积；Ⅱ若向量分别与ܤ、垂直，且，求的坐标．17.设抛物线＝上的点与焦点的距离为，到轴的距离为．（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）若点位于第一象限，直线＝与抛物线相交于，ܤ两点，求证：ܤ．18.如图，在三棱锥ܤ中，是ܤ的重心（三条中线的交点），是空间任意一点．（1）用向量，ܤ，表示，并证明你的结论；（2）设ܤ，，，，请写出点在ܤ的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．19.已知动点与定点䁞的距离和到定直线定的距离的比是定值（其中，）．（1）求动点的轨迹方程；（2）当，变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．20.如图，四边形ܤܥ为梯形，四边形ܥh为矩形，平面ܤܥ平面ܥh，香ܤܥ＝ܥ＝，ܤ＝ܥ＝ܥhܥ，为h的中点．（1）证明：平面ܥ；（2）求平面ܥ与平面ܤ的夹角的大小．试卷第3页，总8页
21.已知直线定经过椭圆h定香右焦点，且与椭圆相香交于，ܤ两点，为ܤ的中点，的斜率为（为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆定＝相切，且圆的动切线与椭圆h相交于，两点，求面积的最大值．试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2019-2020学年广东省某校部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.D2.C3.C4.A5.D6.B7.D8.A9.B10.B11.B12.B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分．13.香14.15.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（1）ܤ䁞香䁞䁞香䁞䁞䁞ܤ香䁞香ܤ香cosܤ，∴ܤ＝ܤ香∴香香sin（2）设䁞䁞，∵ܤ䁞䁞香香∴䁞香香香香∴香䁞香䁞香或香䁞香䁞香17.由抛物线的定义知，点到准线的距离为．即有．解之，得香，＝香．所以，抛物线的方程为＝，点的坐标为䁞或䁞．证明：联立直线＝与抛物线＝的方程，．试卷第5页，总8页
解之，得或，即䁞香，ܤ䁞香香香或䁞香，ܤ䁞香．又䁞，所以ܤ香．香香香故ܤ．香18.ܤ．证明如下：ܥ．香香香ܤܤ香ܤ．设ܤ，，，，则点在ܤ的内部（不包括边界）的充分必要条件是：＝香，且香，香，香．19.设䁞，由已知，得．所以，两边平方，得，化简，得动点的轨迹方程为＝．因为，，所以当＝时，化为＝，它表示的曲线是直线轴；当时，化为香，它表示中心在原点，焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为的椭圆；当时，化为香，它表示中心在原点，焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为的双曲线．20.（法香）连结h与ܥ相交于，连结．因为四边形ܥh为矩形，所以为h中点．试卷第6页，总8页
又为h的中点，所以，在h中，．ܥ平面ܥ．ܥ（法）因为四边形ܥh为矩形，且为h的中点，所以ܥܥܥܥhܥܥhܥܥ，从而与ܥ，ܥ是共面向量．又平面ܥ，所以平面ܥ．因为四边形ܥh为矩形，所以hܥܥ．又平面ܤܥ平面ܥh，hܥ平面ܥh，平面ܤܥ平面ܥh＝ܥ，所以hܥ平面ܤܥ．而ܥ＝，所以，以ܥ为原点，ܥ为轴，ܥ为轴，ܥh为轴，建立空间直角坐标系，如图．设ܤ＝，由已知，得ܥ䁞䁞，ܥ䁞䁞，ܤ䁞䁞，䁞䁞．设平面ܥ的一个法向量为香䁞䁞，则香ܥ，且香ܥ，所以香ܥ，且香ܥ，即，取＝，得＝，＝香，即香䁞香䁞．同理，可求得平面ܤ的一个法向量为香䁞香䁞．香香香香cos香䁞．香香香香所以，平面ܥ与平面ܤ的夹角为．试卷第7页，总8页
香香香21.设香䁞香，ܤ䁞，则，香香香两式相减并整理，得，香香即．香香所以香．……①又直线定与轴的交点为䁞，由已知，得＝．……②联立①②，解得＝，＝香．所以，椭圆的方程为香．由直线定与圆定＝相切，得，香香所以＝香，圆定＝香．又设动切线定＝，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由，消去，得＝．香所以香香香香．又直线定＝与圆定＝香相切，所以香，即＝香香，从而．香香所以，面积香．令，解得香，相应的＝香．所以，使面积最大的直线共有四条：和．故面积的最大值为．试卷第8页，总8页
