2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合,,则( )A.B.C.D.2.下列关于的关系中为函数的是（）A.B.C.D.3.“”是“对任意的正数，”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布5．设，则的大小关系是( )A.B.C.D.6.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪[4，＋∞)B.(－∞，－4]∪[2，＋∞)C.(－2，4)D.(－4，2)
7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为( )A.B.(－1，0)C.D.(0，1)8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若,则的值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若复数满足，则（）A.B.是纯虚数C.复数在复平面内对应的点在第三象限D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，10．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若时，则或11.已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．
C．D．时，取得最大值12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有（）A.函数为偶函数B.当时,有C.当时,D.当时,三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，，且，则实数的值为.14.若数列的通项公式是，则等于.15.若函数.16.在数列中，，，则，对所有恒成立，则的取值范围是.四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．18．（12分）已知数列的前项和为，满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19.（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．20．（12分）已知数列满足:，，N*且≥.（1）求证:数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数（1）求函数的最大值；（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围；（3）求证：当时，.
2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合,,则( )A.B.C.D.【答案】C【解答】解：∵≤1＝，∴x≥0，∴A＝{x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B＝{x|2≤x≤4}，∴∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁RB＝{x|0≤x＜2或x＞4}，故选：C．2.下列关于的关系中为函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】对于A，定义域需满足即，不能满足函数的定义，故B不是函数；对于C，不能满足函数的定义，故C不是函数；对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选D.
3.“”是“对任意的正数，”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A解：当“a＝”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+”一定成立，即“a＝”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”即“对任意的正数x，2x+”⇒“a＝”为假命题；故“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件故选：A．4.《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布【答案】D解：设该女子第天织尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.5．设，则的大小关系是( )A.B.C.D.
【答案】A解：a＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．6.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)【答案】D解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y＝(x＋2y)＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．∵x＋2y＞m2＋2m恒成立，∴m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2，故选D.7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为( )A.B.(－1，0)C.D．(0，1)【答案】B
解：因为函数f（x）＝，关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点，设直线y＝x+a与f（x）＝（x＞0）切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，由已知有：，解得x0＝1，则P（1，0），则切线方程为：y＝x﹣1，由图知：函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，故选：B．8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若,则的值为（）A.B.C.D.【答案】C解：如图所示，建立直角坐标系．AC＝3，AB＝4∵∠CAB＝，∴|OA|＝，|OC|＝，∴A（﹣，0），C（0，），B（，0）．∵，∴＝＝（，0），∴＝+（，0）＝（，0），∴＝（，﹣）．设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，
与＝m+比较，可得：m＝λ，＝，解得m＝．∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），∴＝×﹣×＝．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若复数满足，则（）A.B.是纯虚数C.复数在复平面内对应的点在第三象限D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，【答案】AB【解析】由题意，复数满足，所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选AB.10．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若时，则或【答案】ABC解析：，若，则，且，故A正确，时．故D不正确．若，则且，解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确．11.已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．时，取得最大值【答案】ABC【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，，，即，，即，所以，且，即数列递减，且，，…，，，又由，可得，当时，可得，当时，可得，当时，可得，当时，可得，又由，因为，且，
所以，所以当时，取得最小值.综上可得，D不正确.12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有A.函数为偶函数B.当时,有C.当时,D.当时,【答案】ABC解：在同一直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|的图象如右图所示，由图象可知：f（x）＝，显然有f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数；故A正确；又当x≥1时，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的图象可看作f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象在f（x﹣2）图象之上，∴当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x），故B正确；又由图象可知：若x∈R时，f（x）≥0，可令t＝f（x），由y＝f（t）和y＝t（t≥0）的图象可知：当t≥0时，y＝t在曲线y＝f（t）的上方，∴当t≥0时，有t≥f（t），即有f（f（x））≤f（x）成立，故C正确；若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，显然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，故D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量，，且，则实数的值为_________.【答案】14.若数列的通项公式是，则等于.【答案】30【详解】由题意，数列的通项公式是，则，所以．15.若函数__________.【答案】2解：当x＞0时，由f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），可得f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），两式相加得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），则f（x+3）＝﹣f（x），∴当x＞0时，f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即x＞0时，f（x）是周期为6的周期函数，又f（x）＝，∴f（2021）＝f（5）＝﹣f（2）＝f（﹣1）=2，故答案为：216．在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.【答案】.【详解】解：由于，
所以当时，有，两式相减可得，即当时，，当时，求得，即也符合该递推关系，所以.由于，令，由于，当时，，当单调递增，当单调递减，所以，故数列最大项为，即.故答案为：；.四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．【详解】（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（2）由（Ⅰ）可得．所以
．18．（12分）已知数列的前n项和，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）3Sn＝1+2an，①，当n＝1时，3S1＝1+2a1，解得a1＝1，当n≥1时，3Sn+1＝1+2an+1，②，由②﹣①可得3an+1＝2an+1﹣2an，即an+1＝﹣2an，∴＝﹣2，∴数列{an}是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴an＝（﹣2）n﹣1，（2）（2n﹣1）an＝（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，则Tn＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，∴﹣2Tn＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n﹣1）（﹣2）n，两式相减，可得3Tn＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n﹣1﹣（2n﹣1）（﹣2）n，＝1+2×﹣（2n﹣1）（﹣2）n，＝1﹣﹣×（﹣2）n﹣（2n﹣1）（﹣2）n＝﹣﹣（2n﹣）×（﹣2）n，∴Tn＝﹣﹣．19.（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.20．（12分）已知数列满足:，，N*且≥.（1）求证:数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.（1）证明：又∴数列是以首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）得，（3）解：21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝2ex﹣x﹣2，f′（x）＝2ex﹣1，f′（1）＝2e﹣1，即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3，故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2．（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0．易知f′（x）＝2ex﹣a．①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．②若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln．则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴x＝时，函数f（x）取得最小值．当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．
当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．22．（12分）已知函数（1）求函数的最大值；（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数的范围；（3）求证：当时，.（1）解：（1）函数y＝f（x）定义域为x∈（﹣1，+∞），f′（x）＝﹣，∴x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，所以f（x）max＝f（0）＝1；（2）解：g（x）＝1+ln（x+1）﹣（a﹣2）x+x2，g′（x）＝﹣（a﹣2）+2x＝，g（x）既有极大值，又有极小值，等价于方程2x2+（4﹣a）x+3﹣a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即：，解得：a＞2，所以所求实数a的取值范围是：（2，+∞）；（3）证明：由（1）知当x＞0时，f（x）＜f（0）＝1，∴ln（1+x）＜x，∴ln（1+）＜，∴ln（1+1）＜1，ln（1+）＜，ln（1+）＜，…，ln（1+）＜，
∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1+++…+＜1+++…+＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）＝1+2﹣2＝2﹣1＜2．
