算法案例 (20分钟 30分)1.用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次.2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的是( )A.63B.83C.189D.252【解析】选A.三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)=3×42+3×41+3×40=63.【补偿训练】 101(9)化为十进制数为( )A.9 B.11 C.82 D.101【解析】选C.101(9)=1×92+0×91+1×90=82.3.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )A.6，6 B.5，6 C.6，5 D.6，12【解析】选A.改写多项式f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1，则需进行6次乘法和6次加法运算.4.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4时的值时，先算的是( )A.4×4=16B.7×4=28C.4×4×4=64D.7×4+6=34【解析】选D.因为f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2，当x=4的值时，先算的是7×4+6=34.5.10x1(2)=y02(3)，求数字x，y的值.5
【解析】因为10x1(2)=1×20+x×21+0×22+1×23=9+2x，y02(3)=2×30+y×32=9y+2，所以9+2x=9y+2且x∈{0，1}，y∈{0，1，2}，所以x=1，y=1. (30分钟 55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列各数，化为十进制后，最大的为( )A.101010(2) B.111(5)C.32(8) D.54(6)【解析】选A.101010(2)=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42，111(5)=1×52+1×51+1×50=31，32(8)=3×81+2×80=26，54(6)=5×61+4×60=34.2.计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计算符号与十进制的对应关系如下表：十六进制01…ABCDEF十进制01…101112131415例如用十六进制表示D+E=1B(16)，则(2×F+1)×4=( )A.6E(16)B.7C(16)C.5F(16)D.B0(16)【解析】选B.(2×F+1)×4用十进制可以表示为(2×15+1)×4=124，而124=16×7+12，所以用十六进制表示为7C(16).3.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是( )A.3B.4C.5D.7【解析】选D.k进制的最小三位数为k2，六进制的最大二位数为5×6+5=35，由k2≤35得0<k≤，故k不可能是7.【补偿训练】 已知175(8)=120+r，求正整数r.【解析】因为175(8)=1×82+7×81+5×80=125，所以125=120+r.所以r=5，即所求正整数r为5.5
4.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )A.5，150B.15，450C.450，15D.15，150【解析】选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150=45×3+15，45=15×3，45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)=450.二、填空题(每小题5分，共15分)5.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是______. 【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，v0=3，v1=3×(-4)+12=0，v2=0×(-4)+6=6，v3=6×(-4)+10=-14，v4=-14×(-4)-8=48，所以v4最大，v3最小，所以v4-v3=48+14=62.答案：626.若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k=______. 【解析】由k进制数123(k)可知k≥4.下面可用验证法：若k=4，则38(10)=212(4)，不合题意；若k=5，则38(10)=123(5)成立，所以k=5.答案：5【补偿训练】 已知44(k)=36，把67(k)转化为十进制数.【解析】由题意得36=4×k1+4×k0，则k=8.故67(k)=67(8)=6×81+7×80=55.7.古时候，当边境有敌人入侵时，守边的官兵通过在烽火台上点火向国内报告.如图，烽火台上点火表示二进制数1，不点火表示数字0，约定二进制数对应十进制的单位是15
000，请你计算一下，这组烽火台表示有_____名敌人入侵. 【解析】由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11011，它表示的十进制数为11011(2)=27，因为对应十进制的单位是1000，所以入侵的敌人人数为27000.答案：27000三、解答题(每小题10分，共20分)8.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13，当x=6时的值，写出详细步骤.【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13.v0=3，v1=v0×6+12=30，v2=v1×6+8=188，v3=v2×6-3.5=1124.5，v4=v3×6+7.2=6754.2，v5=v4×6+5=40530.2，v6=v5×6-13=243168.2.所以f(6)=243168.2.9.求三个数175，100，75的最大公约数.【解析】先求175与100的最大公约数：175=100×1+75，100=75×1+25，75=25×3.则175与100的最大公约数是25.再求25与75的最大公约数：75-25=50，50-25=25.故25是75和25的最大公约数，也就是175，100，75的最大公约数.1.设2134与1455的最大公约数为m，则m化为三进制数为______. 5
【解析】2134=1455+679，1455=679×2+97，679=97×7，所以2134与1455的最大公约数为97，所以m=97.用97连续除3取余数，可得97化为三进制数为1012答案：10121(3)【补偿训练】 已知k进制数32501(k)，则k不可能是( )A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选A.k进制数中各个数字均小于k，则k>5.2.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，求每瓶最多装多少？【解析】先求147与343的最大公约数：343-147=196，196-147=49，147-49=98，98-49=49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133-49=84，84-49=35，49-35=14，35-14=21，21-14=7，14-7=7.所以147，343，133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7g.5
