河南百校联盟2020～2021学年高二1月联考文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：常用逻辑用语，圆锥曲线，导数的计算、导数与单调性、导数与极值．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．3．已知函数，则（）A．B．C．D．4．关于的方程有实数解的充要条件是（）A．B．C．D．5．已知函数在处有极值，则等于（）A．1B．2C．3D．4
6．命题“中，若，则是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．若是以，为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（）A．B．C．或D．1或9．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（）A．4B．C．6D．911．以为圆心，4为半径的圆与抛物线相交于，两点，如图，点是优弧
上不同于，的一个动点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题．13．函数的图象在点处的切线的方程是______．14．王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）15．已知椭圆的离心率为，则实数的值为______．16．已知长为4的线段的两个端点，都在抛物线上滑动，若是线段的中点，则点到轴的最短距离是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．求下列函数的导数：（1）；（2）；
（3）．18．已知：方程对应的图形是双曲线；：函数的最大值不超过2．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．19．已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于不同的两点，，线段的中点在圆上，求实数的值．20．已知抛物线的准线与圆相切．（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；（2）如图，过点的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点（在之间），直线交直线于点，，求直线的方程．21．已知函数（是自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）求函数的零点的个数．22．已知，是椭圆的左、右焦点，点的坐标是，
，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆相交于，两点，问以为直径的圆能否过坐标原点？若能，求出的面积；若不能，请说明理由．2020～2021学年高二1月联考文科数学参考答案、提示及评分细则1．【答案】B【解答】解：全称命题的否定是特称命题，改成，改成．故选B．2．【答案】A【解答】解：由，得，则，且焦点在轴正半轴上，故焦点坐标是．故选A．3．【答案】C【解答】解：，所以，所以，所以，所以．故选C．4．【答案】D【解答】解：因为，
所以关于的方程有实根的充要条件是．故选D．5．【答案】B【解答】解：，由题意知，即，所以，所以．故选B6．【答案】C【解答】解：原命题是真命题，逆否命题是真命题．其逆命题为“若是钝角三角形，则”，这是一个假命题，于是否命题也是假命题．因此真命题的个数是2．故选C．7．【答案】D【解答】解：因为，所以，在中，设，则，，所以，，．故选D．8．【答案】B【解答】解：由题意知，，
所以点在的左支上，所以，即，所以．故选B．9．【答案】B【解答】解：因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且．故选B．10．【答案】A【解答】解：因为点为的中点，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以．故选A．11．【答案】C【解答】解：易知圆心也是抛物线的焦点，设与抛物线的准线交于点，根据抛物线的定义，可得，
故的周长．设点的坐标为，由解得即．由于点不与、两点重合，也不在轴上，所以的取值范围为，所以的周长的取值范围为．故选C．12．【答案】A【解答】解：由题意知函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．故选A．
13．【答案】【解答】解：因为，，所以，切线方程是，即．故答案为：．14．【答案】必要【解答】解：因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件．故答案为：必要．15．【答案】3或【解答】解：当焦点在轴上时，，，所以，解得；当焦点在轴上时，，，所以，解得．故答案为：3或．16．【答案】【解答】解：设抛物线的焦点为，过点，，作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，，，，
当且仅当，，三点共线时等号成立，所以当弦过抛物线的焦点时，取最小值2，此时，点到轴的距离取最小值为．故答案为：．17．【答案】解：（1）．（2）．（3）∵，∴．18．【答案】解：对于，因为方程对应的图形是双曲线，所以，解得或．所以若为真命题，则或．对于：当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；
当时，，所以．所以若为真命题，则．若为真命题，为假命题，则，一真—假．若真假，则实数满足解得或，若假真，则实数满足解得．综上所述，所求实数的取值范围为．19．【答案】解：（1）设双曲线的方程是，则，解得，所以双曲线的方程是，即．（2）将，代入消去，并整理得．设，，线段的中点为，则，，所以，．因为点在圆上，所以．解得．20．【答案】解：（1）因为抛物线的准线与圆相切，所以，解得．
所以抛物线的方程是，焦点的坐标．（2）显然直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，，．联立消去得．由，解得．所以且．由韦达定理得，．因为，所以，所以．整理得，所以，整理得．解得，经检验，满足．所以所求直线的方程为或．即或．21．【答案】解：①因为，所以，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得；令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）显然0不是函数的零点，由，得．令，则．或时，时，所以在和上都是减函数，在上是增函数，时取极小值，又当0时，．所以时关于的方程无解，或时关于的方程只有一个解，时关于的方程有两个不同解．因此，时函数没有零点，或时函数有且只有一个零点，时函数有两个零点．
22．【答案】解：（1）∵，∴点在椭圆上，∴．①又∵离心率，∴．②解①②得，．∴椭圆的方程为．（2）若以为直径的圆过坐标原点，则．当切线的斜率不存在时，切线的方程是：或，与椭圆相交于，两点，此时，或，，∴，∴当切线的斜率不存在时，不成立．当切线的斜率存在时，设切线的方程是，则，即．③联立得得．∵直线与椭圆相交于，两点，∴，化简得．
设，，则，，．若，则，∴，化简得，．④联立③④，并消去得，，即，显然无解，∴当直线的斜率存在时，也不可能成立．综上所述，以为直径的圆不可能过坐标原点．
