九师联盟2020~2021学年高二1月联考理科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：选修2-1．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．3．关于的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．4．已知双曲线：（，），直线：与双曲线仅有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．5．在正方体中，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知椭圆的离心率为，则实数的值为（）A．2B．3C．3或D．2或7．若“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．设曲线的方程，给出关于曲线的性面结论：①曲线关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线上的所有点均在椭圆内部．下面判断止确的是（）A．①错误②正确B．①正确②错误C．①②都错误D．①②都正确9．如图，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（）
A．4B．C．6D．910．以为圆心，4为半径的圆与抛物线：相交于，两点，如图，点是优弧上不同于，的一个动点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（）A．B．C．D．11．以下四个关于双曲线的命题：①设，为两个定点，为正数，若动点使，则动点的轨迹是双曲线；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④若双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，则或．其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．412．已知椭圆1上存在两个不同的点，关于直线对称，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．王安石在《游褒禅山记》中写道世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）14．双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为______.15．如图，二面角为，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，，，则的长度为______．16．已知抛物线：焦点为，准线方程，直线与抛物线交于，两点，连接并延长交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知：方程对应的图形是双曲线；：函数的最大值不超过2．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．19．已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值．20．在二棱柱中，平面平面，，四边形为菱形，且，，分别是棱，的中点，．（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求到平面的距离．21．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，
两点．已知，．（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点（在之间），直线交直线于点．是否存在这样的直线，使得（为的焦点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．22．已知，是椭圆：（的左、右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为，的中点，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆分别相交于，两点，且与圆：相交于，两点，求的取值范围．联盟2020~2021学年高二1月联考理科数学参考答案1．B全称命题的否定是特称命题，改成，改成．故选B．2．A由得，则，且焦点在轴正半轴上，所以焦点坐标是．故选A．3．A因为，当时，，故关于的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，故选A．4．C
由题意知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则与双曲线的一条渐近线平行，所以，所以．故选C．5．D以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则，，，显然平面，所以是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为，故所求角的余弦值为．故选D．6．C当焦点在轴上时，，，所以，解得；当焦点在轴上时，，，所以，解得．故选C．7．B因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即存在，使成立．又等号仅当，即时成立，所以只要，解得．故选B．8．D利用研究曲线方程的方法易知①正确，在曲线上，，，即曲线在一个矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故②正确．故选D．9．A因为点为的中点，所以，又，所以，，所以
，所以，所以，所以．故选A．10．A易知圆心也是抛物线的焦点，设与抛物线的准线交于点，根据抛物线的定义，可得，故的周长．设点的坐标为，由解得即．由于点不与、两点重合，也不在轴上，所以的取值范围为，所以的周长的取值范围为．故选A．11．B对于①，，为两个定点，为正数，，当时，动点的轨迹是两条射线，故①错误；对于②，方程的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；对于③，双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故③正确；对于④，因为，所以，所以点在双曲线的左支，所以，即，所以，故④错误．故正确的命题有②③．故选B．12．D依题意，设直线的方程是，代入椭圆方程化简得，设，，的中点是，则，解得，又，所以，．因为的中点在直线
上，所以，所以，所以，解得．故选D．13．必要因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件．14．不妨设点在第一象限，根据题意可知，所以，，又，，所以．15．3因为，，，所以，又因为二面角为，所以，所以．16．16因为抛物线：的准线方程，所以，所以，所以抛物线的方程是．不妨设，，，由抛物线定义得．因为，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当最大时，为等边三角形，此时，关于轴对称，不妨设，联立消去，得，所以，所以．所以．
17．解：对于，因为方程对应的图形是双曲线，所以，解得或．所以若为真命题，则或．对于：当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，所以．所以若为真命题，则．若为真命题，为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足解得或；若假真，则实数满足解得．综上所述，所求实数的取值范围为．18．（1）证明：因为平面，平面，所以．又，是的中点，所以．又，都在平面内，且，
所以平面．（2）解：因为平面，平面，平面，所以，．又因为，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系．则，，，，，所以，．设平面的法向量，则即令，则，，所以．又因为平面，所以是平面的一个法向量，所以．由图可知二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是．
19．解：（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线的方程是，则，解得．所以双曲线的方程是．（2）由消去整理，得．由题意知解得且．设，，则，．因为与双曲线的交点分别在左、右两支上，所以，所以，所以，则．所以，即，解得或，又，所以．20．解：取的中点，连接，，，则，又，所以，由题意知为等边三角形，又点为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，4分
所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，所以，，，，．（1）设异面直线和所成角为，则．（2）设平面的法向量为，则即令，得，，所以，所以点到平面的距离．21．解：（1）设圆的方程为，∵，可设，代入得，∴，代入，得．①∵，抛物线的准线方程为，可设，代入，得
．②解①②得（舍去）．∴抛物线的方程是．（2）的焦点的坐标，显然直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，，．联立消去得．由，解得，∴且．由韦达定理得，．方法一：直线的方程为，又，所以，所以，∵，∴直线与直线的斜率相等．又，∴．整理得，即，化简得，，即．
∴，整理得，解得．经检验，符合题意．∴这样的直线存在，且直线的方程为或，即或．方法二：∵，∴，∴．整理得，∴，整理得．解得，经检验，符合题意．∴这样的直线存在，且直线的方程为或，即或．22．解：（1）在中，令，得右焦点的坐标是，所以．①设，，，则，，两式相减得，
，，又的斜率为，所以，所以，所以．②解①②得所以椭圆的方程为．（2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易求，的坐标为，，，的坐标为，，所以，，．②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，．联立消去整理得，则，，所以．
因为圆心到直线的距离，所以，所以．因为，所以．综上，的取值范围是．
