湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：必修1~4占20%，必修5、选修2-1、2-2第一章占80%。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知命题，，则是A.，B.，C.，D.，3.函数的图象在点处的切线方程为A.B.C.D.4.函数的定义域为A.B.
C.D.5.2020年10月1日中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从城到城实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在的车辆有235台，则通行时间在的车辆台数是A.450B.325C.470D.5006.函数的图象大致为A.B.C.D.7.“”是“”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是
A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，且，则A.B.C.D.10.已知函数，其导函数为，则A.B.C.D.11.已知点是角终边上的一点，则A.函数的对称轴方程为B.函数的对称轴方程为C.函数是奇函数D.函数是偶函数12.已知双曲线（，）与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左、右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是A.
B.的离心率为C.若，则的面积为2D.若的面积为，则为钝角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.椭圆的左焦点的坐标为_______.14.若，，，则的最小值为_______.15.已知函数的一个极值点为1，则在上的最小值为_______.16.有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6.随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，_______，且，？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.18.（12分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.19.（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，二面角为，为中点.（1）证明：.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知函数.（1）当时，证明：在上单调递减.（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.21.（12分）已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程.（2）若直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的切线，交于点.证明：在一定直线上.22.（12分）已知函数.
（1）当时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），，求的取值范围.高二数学试卷参考答案1.C.2.B全称量词命题的否定是存在量词命题.3.D因为，所以.又因为，所以所求切线方程为，即.4.A由，得，所以原函数的定义域为.5.C因为，，，四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在的频率是，通过的车辆台数是.6.A令，其定义域为.因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；当时，，故，排除D.7.B若，则，，成立.若，则，得，或.当时，；当时，.故“”是“”的充分不必要条件.
8.D令，则，因为，所以，所以在上单调递减.因为，所以等价于，解得，所以不等式的解集是.9.AC因为，所以，则.因为，所以.10.BC因为，所以.因为，所以.故.11.AD根据题意知角为第四象限角，且，则，所以，令，解得，所以函数的对称轴方程为.为偶函数.故选AD12.AD设点，，，则，且，两式相减得，所以.因为，所以，，故双曲线的渐近线方程.
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A正确，B错误.对于C，不妨设在的右支上，记，则.因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为，故C不正确.对于D，设，因为，所以，将代入，得，即.由对称性，不妨取的坐标为，则，，因为，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.13.因为，所以，所以左焦点的坐标为.14.2因为，所以.因为，所以，即，所以.因为，，所以，即的最小值为2，当且仅当时取等号，此时.
15.因为，所以，得.因为，所以在，上单调递增，在上单调递减.因为，，所以在上的最小值为.16.若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，基本事件的总数有种，其中既没有3，也没有6的基本事件共有种，则所求概率为..17.解：选①：∵，∴.………………………………………………………3分∵，∴，.…………………………………………………………………6分∵，，∴.………………………………………………………………………………………………………9分符合，故存在满足条件的.…………………………………………………………10分选②：∵，∴.……………………………………………………………3分∵，∴.………………………………………………………………………………………5分∵，∴，∴.………………………………………………………7分由得.……………………………9分符合，故存在满足条件的.…………………………………………………………10分选③：∵，∴.………………………………………………………………………2分∵，∴.………………………………………………………………………5分∵，
∴，得，不成立.…………………………………………………………………………………9分故不存在满足条件的.…………………………………………………………………………10分18.解：（1）当时，，解得.……………………………………………………1分因为，①所以当时，，②①-②得，……………………………………………………………………2分所以..………………………………………………………………………………………4分故数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为.………………………6分（2）由题知，.………………………………………………………………………7分所以，③，④…………………………………………………9分③-④得，……………………………………………………………………………………………11分所以.………………………………………………………………………………………12分19.（1）证明：：四边形为正方形，∴.∵，，∴.
∵，∴.…………………………………………………………………2分∵二面角为，∴.∵，，∴为等边三角形.∵为中点，∴.∵，∴.……………………………………………………………4分（2）解：过作，垂足为，易知为中点.∵，，，∴.设中点为，则，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方形的边长为2，∴，，，，，，∴，，.……………………7分∵，∴为平面的一个法向量.设是平面的法向量，则令，得.………………………………………………………10分
∵，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………………………………………12分20.（1）证明：当时，函数，，………………1分若，则.…………………………………………………………………………………2分因为，所以，……………………………………………4分故在上单调递减.…………………………………………………………………5分（2）解：当时，，对恒成立；………………………………6分当时，由，整理得.………………………………………7分设，则.…………………………………………………………8分令，得，则在上单调递增；………………………………………9分令，得，则在上单调递减.…………………………………………10分所以，.………………………………………………………………11分综上，实数的取值范围是…………………………………………………………………12分
21.（1）解：设到直线的距离为，则，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹的方程为.……………………………………………………4分（2）证明：设，，，联立方程组得，则，，.………………………………………………………6分由，得，所以，所以切线的方程为，①同理切线的方程为.②………………………………………………………………10分由①—②，得，所以点在直线上.………………………………………………………………………………12分22.解：（1）当时，，定义域为，.……………………………………………………………………1分设，则，………………………………2分令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，…………………………………………………………………3分所以在上为增函数.………………………………………………………………………4分故在上的最大值为，最小值为.……………………………5分（2）不等式可转化为，………………………………………6分令，则.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.…………………………………………………7分所以，于是，…………………………………………………8分记，，则，……………………………9分因为，所以在上单调递减，在上单调递增.…………………………………………………10分所以，从而，……………………………………………………………11分故的取值范围是.………………………………………………………………………………12分
