淄博实验中学2018级（高三）第一学期第一次模块考试数学一、选择题1.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简，再由模长公式即可得出答案.【详解】由，得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查复数的模以及基本运算，属于基础题.2.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解：∵,,∴,故选：C.-21-
【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.3.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义判断．【详解】，不能得出，不充分；，是充要条件；不能得出，不充分．，是充分条件，反之若不能得出，因此是不必要，故选：D．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．4.若，且，则等于（）A.0.45B.0.3C.0.1D.0.05【答案】D【解析】【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线的对称性求解.【详解】∵，∴正态分布曲线的对称轴为，又，∴，故选：D.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量p和o的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5.曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）-21-
AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果.【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，.因为，，则解得，，故.故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.6.已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用可以求得，即可求得，利用在上为减函数，且，即可，从而求出的取值范围.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，可得，此时，易知在上为减函数.-21-
又因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，考查了判断函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.7.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由且，不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.【详解】因为，，所以；因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示，是中档题.8.若，，且，，则的值是（）A.B.-21-
C.或D.或【答案】A【解析】【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用求解的值.【详解】∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.9.（多选题）下列命题为真命题的是（）-21-
A.若，则B.若，则C.若且，则D.若且，则【答案】BCD【解析】【分析】当时，可判断选项A不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确．【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:，所以本命题是真命题；选项C:，所以本命题是真命题；选项D:，所以本命题是真命题；故选:BCD．【点睛】本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．10.（多选题）下列关于函数的图象或性质的说法中，错误的是（）A.函数的图象关于直线对称B.将函数的图象向右平移个单位所得图象的函数为C.函数在区间上单调递增D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】①令得到对称轴，即可作出判断；②根据平移变换知识可知正误；③求出其单调增区间即可作出判断；④利用配角法即可得到结果.-21-
【详解】令，解得，不存在整数，得到，故①错误；将函数的图象向右平移个单位，得，故②错误；令，故③错误；若，则，故④正确故选：ABC【点睛】方法点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.11.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（）A.答对0题和答对3题的概率相同，都为B.答对1题的概率为C.答对2题的概率为D.合格的概率为【答案】CD【解析】-21-
【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.【详解】选项，答对0题和3题的概率为，所以选项错误；选项，答对1题的概率为所以选项错误；选项，答对2题的概率为，所以选项正确；选项，至少答对2题的概率为，所以选项正确.故选:CD.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.12.已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（）A.B.函数为偶函数C.函数在上有1011个零点D.函数在上为减函数【答案】ABC【解析】【分析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在-21-
单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误.【详解】函数关于点对称，关于对称，，，关于对称，当，时，都有，在单调递增，综上，可画草图，可知，是以4为周期的函数，则，，故A正确；可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，故B正确；在的零点个数有个，故C正确；在的图象和在的图象一致，应为增函数，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性的综合运用，属于中档题.-21-
三．填空题13.若圆锥的母线与高的夹角为，且底面半径为2，则该圆锥的侧面积为__．【答案】8π【解析】【分析】根据圆锥的母线，高，底面半径组成直角三角形，求出母线长，再计算圆锥的侧面积.【详解】圆锥的轴截面如图所示，设圆锥的母线为l，高为h，底面半径为r＝2，所以母线长为l＝＝4，所以该圆锥的侧面积为S侧面积．故答案为：8π．【点睛】本题考查圆锥的结构特征和侧面积公式，考查运算求解能力，属于基础题.14.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】根据新定义，求出的根即可，然后进行大小比较.【详解】由题可得：，所以，-21-
，假设，则，所以，与矛盾，故，故，故答案为：【点睛】关键点点睛：在比较的过程中，应用了反证法，反证法的关键是假设后，正常推理，能够推出矛盾，否定假设，属于中档题.15.已知函数在上单调递减，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数在上单调递减可得，且二次函数在上单调递减，所以，且，从而可得答案．【详解】由题分段函数在上单调递减可得又因为二次函数图像开口向上，所以，解得且，将代入可得，解得-21-
所以的取值范围是【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确且属于一般题．16.若，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式，求得所求表达式的最小值.【详解】由于，所以，当且仅当且时等号成立，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四．解答题17.年初，新冠肺炎疫情暴发，全国中小学生响应教育部关于“停课不停学”居家学习的号召.因此，网上教学授课在全国范内展开，为了解线上教学效果，根据学情要对线上教学方法进行调整，从而使大幅度地提高教学效率.近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛，等级分为至分，随机调阅了、校名学生的成绩，得到样本数据如下：-21-
成绩（分）人数（个）校样本数据统计图（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；（2）从校样本数据成绩分别为分、分和分的学生中按分层抽样的方法抽取人，从抽取的人中任选人参加更高一级的比赛，求这人成绩之和不小于的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差公式可求得两校样本数据的均值和方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，校成绩为分的学生应抽取人，分别记为、、、，成绩为分的学生应抽取人，记为，成绩为分的学生应抽取人，记为，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的人成绩之和不小于”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）从校样本数据的条形图可知：成绩分别为分、分、分、分、分、分的学生分别有：人、人、人、人、人、人.校样本的平均成绩为（分），A校样本的方差为.从校样本数据统计表可知：-21-
校样本的平均成绩为（分），校样本的方差为.因为，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为，所以校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比校好；（2）依题意，校成绩为分的学生应抽取的人数为人，设为、、、；成绩为分的学生应抽取的人数为：人，设为；成绩为分的学生应抽取的人数为：人，设为.所以，所有基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，其中，满足条件的基本事件有：、、、、、、、、，共个，所以从抽取的人中任选人参加更高一级的比赛，这人成绩之和大于或等于的概率为.【点睛】本题考查平均数、方差的计算，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题.18.已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列是等比数列；(2)记，求数列的前n项和．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明．（2）利用条件（1）求出，从而求出，根据-21-
形式，利用列项相消法求和．【详解】（1）因为，所以，两方程作差得：，整理得：，从而，所以数列是等比数列，公比为．（2）令，则可化为：，解得：，因为数列是等比数列，所以，所以，所以=，所以=，所以==【点睛】（1）主要考查了赋值法，法及等比数列概念，注意计算不要错误．（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式．19.已知向量，，函数．（1）若，求的取值范围；（2）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．【答案】（1）；（2）.-21-
【解析】【分析】（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得，再由利用正弦函数的图象与性质，可得的取值范围；（2）根据的表达式化简（B），算出．再根据已知条件利用正弦定理算出，结合得出，由三角形内角和定理算出，得到是以为直角顶点的直角三角形，可得的面积．【详解】（1）向量，．由此可得函数，又，得．，即的取值范围是；，（B），又，，，可得．，根据正弦定理，可得，由得，所以，因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，的面积．【点睛】方法点睛：三角恒等变换方法：三看（看角、看名、看式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，-21-
或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如,,,等.（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等..20.疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A、B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，（1）求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望是.【解析】【分析】（1）用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，由此可计算出概率；（2）的可能取值为：0，1，2，…，.依次计算出概率得分布列，由期望公式写出期望计算式，由数列求和的错位相减法求得结论．【详解】解：（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B餐盒的概率为，用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，∴其中有三个B餐盒的概率-21-
.（2）的可能取值为：0，1，2，…，.，，……，，.所以的分布列为X012……nP……的数学期望为：①②①-②得.即的数学期望为.-21-
【点睛】本题考查二项分布，随机变量的概率分布列与数学期望，错位相减法求和．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．21.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【答案】（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元.【解析】【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值．【详解】（1）由题意知，，将代入化简得：（）；（2），（ⅰ）当时，①当时，，所以函数在上单调递增，②当时，，所以函数在上单调递减，从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；-21-
（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题.22.已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）．【解析】【分析】（1）先求得，利用导数可得恒成立，故可得的单调区间.（2）对任意的恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.-21-
令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，又因为，，所以，在定义域上单调递增.（2）由得，即，所以，即对任意恒成立，设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.-21-
