2020-2021学年上学期山东省新高考高三上学期联考试卷一、单选题1.已知集合，集合，=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得指数函数的值域和对数型函数的定义域，再求交集即可.【详解】，故选：A.【点睛】易错点睛：本题考查集合的交集运算，解题时要注意集合的元素代表，从而转化为求指数函数的值域和对数型复合函数的定义域，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.2.若复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断可得；【详解】，故在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限．故选：C.-25-
3.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再令，解不等式即可求解.【详解】由图知：，，所以，又因为，所以，所以，由，可得，因为，所以，，所以，令，解得：，-25-
所以函数的单调递减区间为，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出的解析式，再利用整体代入法求单调区间.4.已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设向量与的夹角为，由向量数量积的几何含义可知，结合已知即可求.【详解】设向量与的夹角为，则：∵，∴，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的几何意义求向量夹角的余弦值，进而求角即可.5.函数图象大致是（）-25-
A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据解析式，可知为偶函数，再由知上单调递减，上单调递增，即可知函数的图象.【详解】由解析式知：，即为偶函数，排除A；，令得，∴上单调递减，上单调递增.故选：D-25-
6.已知，且满足，则的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】由可得，利用展开利用基本不等式即可求解.【详解】由可得，又因为，，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，...生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为（）A.65B.66C.67D.68【答案】B【解析】-25-
【分析】设出年龄最小者的年龄、年龄最大者的年龄，根据条件列出关于的方程，再根据的范围，求解出的范围，由此确定出的值.【详解】设年龄最小者的年龄为，年龄最大者的年龄为，所以，所以，所以，所以，所以，因为年龄为正整数，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过等差数列的求和公式列出关于年龄的方程，并借助不等式分析出问题的解.8.已知函数（是自然对数的底数），若当时，恒成立，则整数k的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】构造函数，要使题设不等式恒成立，即，应用导数研究的单调性，可得，进而可求整数k的最大值.【详解】令，则有，∴上单调递减，上单调递增.当时，在上单调递增，又，∴时，恒成立.当时，∴，∴时，恒成立，即，有，-25-
令，则，所以在上单调递减，而时有，即成立，时有，即不成立，∴整数k的最大值为，故选：B【点睛】关键点点睛：构造，将不等式恒成立转化为，结合导函数研究单调性求参数的最大整数值.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.已知是非零向量，若，则与的夹角为锐角C.已知，若，则D.命题“”的否定为“”【答案】AD【解析】【分析】根据充要条件定义有A正确，B中向量数量积公式有，C中令，D中由全称命题的否定为任意改为存在，否定结论，即可知选项正误.【详解】A：可得，同样有，正确.B：有，而，即与的夹角为锐角或0°，错误.C：当，有，错误.D：由全称命题的否定知：的否定为，正确.故选：AD10.已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则B.若，则-25-
C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A．若，此时可能平行或异面，故A错误；B．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正确；C．若，此时或，故C错误；D．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D正确，故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.11.关于函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.是周期函数C.在区间上单调递减D.的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB，求出再的单调性即可判断C-25-
，求出的最大值即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A:,所以是偶函数,故选项A正确;对于选项D：因为是偶函数，只考虑时的性质，此时，当时，，当时，，所以的值域为，最大值为1，故选项D正确；对于选项B：由选项D以及是偶函数可得图象如图所示：所以不是周期函数.故选项B不正确；对于选项C:当时,，此时,函数为减函数，故选项C正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用是偶函数，研究时的性质，即可判断整个定义域内的性质，对于含绝对值的要分象限讨论去绝对值.12.已知函数，则下列说法正确的是（）-25-
A.若函数有4个零点，则实数k的取值范围为B.关于x的方程有个不同的解C.对于实数，不等式恒成立D.当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【解析】【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当时，；当时，；当，则，；当，则，；当，则，；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线-25-
的斜率应该在直线m,n之间，又，，，故A正确；对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；对于D，取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13.若，则________.【答案】4【解析】【分析】求值式分子分母同除以，化为后代入的值计算．【详解】∵，∴．故答案为：4．14.如图，在矩形ABCD中，，F为DE的中点，若，则=____.-25-
【答案】【解析】【分析】根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.【详解】由F为DE的中点，利用向量平行四边形法则可得：利用向量三角形法则知：，，，.故答案为：.15.已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=______【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：因为，故答案为：-25-
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.16.如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC=2，AB=CD=，且异面直线AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的外接球的表面积为_________.【答案】或.【解析】【分析】将四面体补形为直三棱柱，根据异面直线所成角分析出直三棱柱的外接球半径，从而计算出四面体的外接球半径，则外接球的表面积可求.【详解】将四面体补形为直三棱柱如下图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：图（1）中，图（2）中，在图（1）（2）中可知：，所以平面，图（1）（2）中取的中点，连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径，-25-
图（1）中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；图（2）中，，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；故答案为：或.【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径的几种方法：（1）当几何体可以放置于正方体、长方体等特殊几何体中，可以借助特殊几何体的规则结构确定出外接球的球心，从而求解出外接球的半径；（2）利用球结构特点以及圆的几何性质结合线段的位置关系直接确定出球心，再根据长度求解出球的半径.四、解答题17.在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形式等边三角形，给出证明；若问题中的三角形不是等边三角形，说明理由问题：是否存在等边，它的内角，，的对边分别为，，，满足：，.注：如果选择多个分别解答，按第一解答给分【答案】选择①存在，选择②存在，选择③存在，证明见解析.【解析】【分析】若选①利用二倍角公式化简可求角，利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三角形；若选②由正弦定理化边为角可求角，再同①利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三角形；若选③利用三角形的面积公式和余弦定理可求出，可得，再同①②利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三角形；-25-
【详解】若选①，由二倍角公式可得：，即，解得：或，因，所以，所以，，在中由余弦定理可得：，因为，所以，所以，即，所以，所以，又因为，所以是等边三角形.若选②，由正弦定理可得：，即，所以，即，因为，所以，，在中由余弦定理可得：因为，所以，所以，即，所以，所以，又因为，所以是等边三角形.若选③，由三角形的面积公式和余弦定理可得：，即，所以，因为，所以，在中由余弦定理可得：因为，所以，所以，即，所以，-25-
所以，又因为，所以是等边三角形.【点睛】思路点睛：解三角形求角的过程中，关键是利用三角恒等变换如二倍角公式，辅助角公式，两角和差的正余弦公式、以及正余弦定理、三角形的面积公式，求出角的一个三角函数值，再结合该角的范围即可求角.18.已知等差数列的公差为正数，，前n项和为，数列为等比数列，，且，（1）求数列、的通项公式（2）令，求数列的前100项的和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件列出公比和公差的方程组，根据公差的范围求解出公差的值，则公比可求，由此求解出的通项公式；（2）先化简，分析的取值周期性，由此计算的值.【详解】（1）设的公差为，的公比为，因为且，所以，所以，所以；（2）因为，当时，；当时，；当时，；当时，；所以-25-
所以.【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是分析的周期性，根据周期性可分析出求和时很多项为零，因此很大程度上简化了运算.19.如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为垂足，为的中点.（1）当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面，可得，结合，即可证得平面，进而可得，即可得出是直角三角形；（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，根据，设，利用求出的值，再计算平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式求夹角余弦值，再计算正弦值即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形是边长为2的正方形，所以，因为，所以平面，-25-
因为平面，所以，又因为，，所以平面，因为平面，所以，可得，所以是直角三角形.（2）如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，设，所以因为，所以，解得：，所以，，，设平面的一个法向量为，由令可得，，所以，-25-
设平面的一个法向量为，由令，可得，，所以设二面角的平面角为，则，因为，所以，故二面角的正弦值.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.20.已知数列的前n项和为，且满足，满足，且（1）求和的通项公式（2）若设，求数列的前n项和【答案】（1），；（2）.【解析】分析】-25-
（1）由已知等式得到，根据求解出通项公式；用替换，然后两式作差即可求解出的通项公式，由此求解出的通项公式；（2）先化简，将其变形为，然后对分奇偶讨论，由此求解出的结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，又因为，所以时，，又因为符合的情况，所以；因为，所以，所以，所以，所以当时为常数列，又因为，所以，所以，当时，，所以符合的情况，所以；（2）因为，当为奇数时，，当为偶数时，，-25-
综上可知：.【点睛】易错点睛：（1）利用求解数列的通项公式时，一定不要忘记讨论的情况，决定通项公式是否需要分段书写；（2）若数列的通项中含有等形式，要注意对数列进行分奇偶讨论.21.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.【详解】（1）由解得：，-25-
故函数的单调递增区间为．（2），，又，，，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22.已知函数（）（1）讨论的单调性（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，-25-
在上单调递增；在上单调递减；（2）不是，理由见解析；【解析】【分析】（1）先求导，然后结合导数与单调性关系对参数进行讨论即可得解；（2）要判断是否其导函数的零点，问题转化为是否成立，结合函数的性质进行求解.【详解】（1）函数，定义域为求导（i）当时，，在上单调递减；当时，令，其令，得，（ii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；（iii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在-25-
上单调递增；在上单调递减；（2）当时，，求导为函数的两个零点，两式作差得：，即令，，令，求导，，在上单调递增，即，即又，，，，即-25-
所以不是导函数的零点.【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数性质的综合问题，讨论含参数的函数的单调性，通常需要从几个方面分类讨论：（1）求导后看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.-25-
