昆明市2021届高三年级两校联考理科数学试卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数，则的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.2.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）A0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】联立，解方程组，即可求出与的交点个数，即中元素的个数.【详解】联立，解得或.-22-
即与相交于两点，，故中有两个元素.故选：C．3.已知正实数满足，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象可得：，故选B．【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】-22-
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，又，解得，所以，故选C．考点：等比数列的通项公式及性质．5.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.9B.10C.11D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据三视图的情况，利用空间想象能力可知被平面截去的几何体是底面是直角三角形的三棱锥，所以所求几何体体积=直四棱柱体积-三棱锥体积，即.-22-
考点：三视图，几何体的体积计算.6.函数的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的形式和图象，分和两种情况去绝对值，判断选项.【详解】当时，，当时，只有D满足条件.故选：D【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型.一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )-22-
A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：根据框图所给的算法程序可知，进入循环前，；第一次循环时，，，，进入第二次循环；第二次循环时，，，，进入第三次循环；第三次循环时，，，此时成立，退出循环；所以输出的，故选D.考点：程序框图.8.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将转化为，然后代入并计算即可得出结果.-22-
【详解】，因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式的应用，考查三角函数的化简与求值，考查转化与化归思想，考查计算能力，是简单题.9.已知函数在同一周期内有最高点和最低点，则此函数在的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求出和，然后求出和，然后，利用三角函数的性质求解值域即可【详解】由题意知，，解得A＝2，b＝﹣1；又，且，∴解得ω＝2，φ；∴函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，又，所以，所以-22-
，所以，故选：A【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据已知条件，先求出和，然后求出和，求出的解析式后，再根据定义域及正弦函数的性质求出该函数在定义域内的值域，主要考查学生的运算能力和数形结合能力，属于中档题10.若、满足不等式组，且的最大值为，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出可行域，令，结合图形说明当直线经过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值，求出点的坐标，利用点在直线上可求得实数的值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：令，当目标函数取得最大值时，直线在轴上的截距最大，由图象可知，当经过点时，此时目标函数取得最大值，联立，解得，即点，-22-
此时，点在直线上，则.故选：A.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，-22-
由F（c，0）到渐近线的距离为FH=db，∴PH=，又∴OH=即，∴故选D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．12.若定义在R上的函数满足，，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】先分析函数的零点个数，即与在区间上的交点个数，再分析函数周期性、对称性和单调性画函数图象，看图即得结果.【详解】依题意，函数的零点个数，即与在区间上的交点个数，定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，f(2−x)=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，且函数的图象关于x=1对称，故，，满足，故函数f(x)是单位圆的，利用周期性和对称性可得函数图像.设g(x)=xex，其定义域为R，g′(x)=(xex)′=x′ex+x(ex)′=ex+xex-22-
令g′(x)=0，得：x=−1，且时g′(x)<0，时g′(x)0，故函数g(x)=xex的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为(−1,+∞)，当x=−1时，函数g(x)=xex的极小值为，且时g(x)<0，时g(x)0，故作图如下：将x轴下方部分图像对称到上方，即得图像，要求与在区间上的交点个数，则作图如下：结合图像可知，有6个交点，故函数有6个零点.-22-
故选：B.【点睛】“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在中，，，则______.【答案】6【解析】【分析】先由，，求出，然后利用数量积公式直接求解即可.【详解】解：因为，，所以，则.故答案为：6【点睛】此题考查向量的加减法运算，向量的数量积运算，属于基础题.14.的展开式的常数项为______.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，先写出展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果.【详解】展开式的第项为，令解得，-22-
因此的展开式的常数项为.故答案为：.15.已知正三棱柱外接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为______.【答案】【解析】【分析】设底面边长为，则根据题意可得侧面积可表示为，即可得出结果.【详解】设外接球的球心为O，正三棱柱的底面边长为，高为,由于球心在底面的射影为底面的中心，则，，正三棱柱的侧面积为，则当，即时，侧面积最大为，底面边长为.故答案为：.-22-
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是根据勾股关系将正三棱柱的高用底面边长表示出来，则求出侧面积即可得出最值.16.已知函数，下列结论中正确的序号是__________.①的图象关于点中心对称，②的图象关于对称，③的最大值为，④既是奇函数，又是周期函数.【答案】①②④【解析】【分析】利用函数图象关于点对称的充分必要条件：和函数图象关于直线对称的充分必要条件：，结合三角函数的诱导公式和奇偶性，判定①②正确；利用二倍角公式和同角三角函数的关系将)化为只含有的表达式，利用换元法并构造函数，使用导数研究单调性，并求得最值，进而判定③错误；利用奇函数的定义和周期函数的定义，结合正余弦函数的周期性可以判定④正确.【详解】,故①正确；,故②正确；，其中.记,,则,令，解得，列表如下：-11-22-
--0+0--0单调递减极小值单调递增极大值单调递减0=，故=，故③错误；，故为奇函数，，故是周期函数，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性和最值问题，涉及三角函数的性质，诱导公式，二倍角公式，换元思想方法，利用导数求最值，属小综合题，压轴题，难度较大.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）【解析】【详解】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，（Ⅱ）由题意得，-22-
即，·当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．18.某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）用X表示甲､乙､两三名同学选择周三活动的人数之和，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）由题意可以知道随机变量的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解．【详解】（1）设表示事件“甲同学选周三的活动”，表示事件“乙同学选周三的活动”，则（A），（B），事件，相互独立，甲同学选周三活动且乙同学未选周三的活动的概率为（A）；（2）设表示事件“丙同学选周三的活动”，则（C），的可能取值为0，1，2，3，则-22-
；；；．分布列0123数学期望．【点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）先证明EC∥HF即可（Ⅱ）存在【解析】-22-
【详解】试题分析：证明（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,,因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点所以FC∥AD,所以HE∥FC,四边形FCEH是平行四边形所以EC∥HF又因为所以CE∥平面PAF（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，所以CA⊥AD又由平面PAD⊥平面ABCD可得CA⊥平面PAD所以CA⊥PA由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz-22-
因为PA=BC=1，AB=所以AC=1所以假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，设点G的坐标为（1，a，0），所以设平面PAG的法向量为则令所以又设平面PCG的法向量为则令所以因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以所以又所以所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤．本题利用向量简化了证明过程．把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性．20.已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M-22-
，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用，列出方程可得，再由离心率即可求出，得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标.【详解】(1)，，又，，即，则可得，又，，故所求椭圆方程为；(2)设直线，代入，有.设，则，若轴上存在定点满足题设，则，，，由题意知，对任意实数都有恒成立，即对成立.-22-
，解得，在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先对函数求导，由切线与直线垂直知，可得实数值；（2）存在递减区间，转化为在定义域上有解，即分析在上有解；（3）令，则是方程两根，，表示，然后构造函数求其最小值，注意条件的充分使用．【详解】（1）∵，∴．∵与直线垂直，∴，∴（2）因为-22-
由题知在上有解，∵设，则，所以只需故b的取值范围是．（3）∵，所以令∵∵所以设，所以在单调递减，∵，故所求的最小值是【点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、构造函数和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的最值，先求其单调性，再根据单调性确定其最值，其中要特别注意对定义域的分析；构造函数并用导数进行研究，是导数问题中的难点，要有较强的分析和运算能力．-22-
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