2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|ex＞1，x∈R}；B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）2．已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（ ）A．31B．32C．63D．644．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（ ）A．∃x＜0，≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，≤0D．∀x＜0，0≤x≤15．已知向量，满足||＝1，||＝2，＝﹣1，则|2﹣|＝（ ）A．2B．C．D．6．干支历法是我国传统文化的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了．天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789101112123已知我校2021年高三应届毕业生李东是癸未年出生，李东的父亲比他大26岁，问李东的父亲是哪一年出生（ ）A．甲子B．乙丑C．丁巳D．丙卯7．设a＝log，b＝（），c＝（），则a，b．c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b8．如图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为（ ）,A．B．C．D．29．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a+b＝（ ）A．0或﹣7B．0C．﹣7D．1或﹣610．已知直线l：ax+2by+4＝0被圆C：x2+y2＝5截得弦长为2，则ab的最大值为（ ）A．B．2C．D．111．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN⊥CDB．直线MN与平面ABCD所成角为45°C．MN∥平面ADD1A1D．异面直线MN与DD1所成角为60°12．已知，若对任意的x∈（0，+∞），均有f'（x）﹣f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最大值为 ．14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且tan∠MF1O＝，则双曲线的离心率为 ．,15．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA＝2csinB，cosB＝，b＝3，则△ABC面积为 ．16．在正三棱锥S﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝6，点D是SA的中点，若SB⊥CD，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．17．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan+1的等差中项（1）求证：数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式（2）求数列{}的前n项和Sn18．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD＝BD＝DC＝AB，E为PC中点．（Ⅰ）证明：平面BDE⊥平面PBC；（Ⅱ）若VP﹣ABCD＝，求点A到平面PBC的距离．,20．设O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为．直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点，AF的中点为M，|OM|+|MF|＝5．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），＝﹣4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．21．已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）若点P为函数f（x）图象上的点，求点P到直线y＝x﹣2距离的最小值；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a＞0，若函数g（x）在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值为1，（1）求实数m的值；（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．,参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|ex＞1，x∈R}；B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）解：集合A＝{x|ex＞1，x∈R}＝（0，+∞）；B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝（﹣1，2），则A∪B＝（﹣1，+∞），故选：C．2．已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）A．﹣1B．1C．2D．﹣2解：z＝＝＝﹣2﹣i，则复数z的虚部是﹣1，故选：A．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（ ）A．31B．32C．63D．64解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．4．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（ ）A．∃x＜0，≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，≤0D．∀x＜0，0≤x≤1解：命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，≤0或x＝1“，又由≤0得0≤x＜1”，故命题“∀x＞0，＞0”的否定是“∃x＞0，0≤x≤1”，故选：B．,5．已知向量，满足||＝1，||＝2，＝﹣1，则|2﹣|＝（ ）A．2B．C．D．解：向量，满足||＝1，||＝2，＝﹣1，则|2﹣|2＝．故选：C．6．干支历法是我国传统文化的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了．天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789101112123已知我校2021年高三应届毕业生李东是癸未年出生，李东的父亲比他大26岁，问李东的父亲是哪一年出生（ ）A．甲子B．乙丑C．丁巳D．丙卯解：由题意可知，李东是癸未年出生，故李东出生年份的尾数是3，再用2003年除以12余数为11，所以李东出生的年份为2003，因为李东的父亲比他大26岁，所以李东父亲的出生年份为1977年，因为1977年的尾数为7，故天干为丁，1977除以12余数为9，所以地支为巳，则李东的父亲是丁巳年出生．故选：C．7．设a＝log，b＝（），c＝（），则a，b．c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b解：∵a＝log＝log34＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，∴a最大，又∵b＝（）＝（），c＝（）＝（），且幂函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，,∴c＜b，∴c＜b＜a故选：B．8．如图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为（ ）A．B．C．D．2解：几何体直观图如图，四个面的面积分别为，故最大面积为．故选：B．9．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a+b＝（ ）A．0或﹣7B．0C．﹣7D．1或﹣6解：由f（x）＝x3+ax2+bx+a2，得f′（x）＝3x2+2ax+b，，即，解得或（经检验应舍去），a+b＝4﹣11＝﹣7，故选：C．10．已知直线l：ax+2by+4＝0被圆C：x2+y2＝5截得弦长为2，则ab的最大值为（ ）A．B．2C．D．1解：根据题意，圆C：x2+y2＝5的圆心为（0，0），半径r＝，若直线l：ax+2by+4＝0被圆C：x2+y2＝5截得弦长为2，则C到直线l的距离d＝,＝2，又由直线l：ax+2by+4＝0，则有d＝＝2，变形可得a2+4b2＝4，又由4＝a2+4b2≥4ab，变形可得ab≤1，当且仅当a＝2b时取等号，故ab的最大值为1，故选：D．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN⊥CDB．直线MN与平面ABCD所成角为45°C．MN∥平面ADD1A1D．异面直线MN与DD1所成角为60°解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故C正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，则CD⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥CD，故A正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故B正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．12．已知，若对任意的x∈（0，+∞），均有f'（x）﹣f（x,）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]解：因为f′（x）﹣f（x）＞0，所以＞0，所以[]′＞0，设g（x）＝，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（x）＝ex（lnx+x2﹣2mx），所以g（x）＝＝lnx+x2﹣2mx，所以g′（x）＝+x﹣2m＞0在（0，+∞）恒成立，所以2m＜x+≥2＝2（当且仅当x＝1时取等号），所以2m＜2，所以m＜1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最大值为 12 ．解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝3x﹣y得y＝3x﹣z，平移直线y＝3x﹣z由图象可知当直线y＝3x﹣z经过点A时，直线y＝3x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得A（4，0），此时z＝3×4﹣0＝12，故答案为：12．,14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且tan∠MF1O＝，则双曲线的离心率为 ．解：如图，不妨取渐近线为y＝x，焦点F1到渐近线y＝x的距离为b，|OM|＝a，则tan∠MF1O＝＝，∴b＝2a，则e＝＝＝．故答案为：．15．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA＝2csinB，cosB＝，b＝3，则△ABC面积为 ．解：由bsinA＝2csinB结合正弦定理得，ab＝2bc即a＝2c，,因为cosB＝，b＝3，由余弦定理可得＝＝，解得，c＝，a＝3，又sinB＝＝，则△ABC的面积S＝acsinB＝3××＝．故答案为：．16．在正三棱锥S﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝6，点D是SA的中点，若SB⊥CD，则该三棱锥外接球的表面积为 54π ．解：如图，取AC中点P，连接SP，BP．在正三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC．∴SP⊥AC．∵SP∩BP＝P，SP、BP⊂平面SPB，∴AC⊥平面SPB．∵SB⊂平面SNB，∴AC⊥SB．又∵CD⊥EF，AC∩DC＝C，AC、DC⊂平面SAC，∴EF⊥平面SAC．又∵SB⊂平面SAB，EF⊂平面SAB，SB∩EF＝E．∴SB⊥平面SAC．∵AS、CS⊂平面SAC，∴SB⊥AS，SB⊥SC．∵正三棱锥的三个侧面全等，∴CS⊥AS．∵CA＝6，CS⊥AS，∴CS＝AS＝6×＝3．∵AS、CS、BC两两垂直，且CS＝AS＝SB＝3．∴可将正三棱锥S﹣ABC补成正方体AIBS﹣GHKC．∴正三棱锥S﹣ABC外接球的直径即为正方体AIBS﹣GHKC的体对角线SH．∵SH＝SB＝3．,∴正三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝54π．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．17．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan+1的等差中项（1）求证：数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式（2）求数列{}的前n项和Sn解：（1）证明：a1＝2，an是1与anan+1的等差中项，可得2an＝1+anan+1，即an+1＝，an+1﹣1＝，可得＝+1，可得数列{}是首项和公差均为1的等差数列，即有＝n，可得an＝1+；（2）＝＝﹣，则前n项和Sn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值,（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率．解：（1）由10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，得a＝0.035．（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁；设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+（x﹣35）×0.035＝0.5，∴x≈42.1岁．（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3．设从5人中随机抽取3人，为：（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3），共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率p＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD＝BD＝DC＝AB，E为PC中点．（Ⅰ）证明：平面BDE⊥平面PBC；（Ⅱ）若VP﹣ABCD＝，求点A到平面PBC的距离．,【解答】证明：（I）PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，PD＝DC＝DB，∴PC＝PB＝BC，∵E是PC的中点，∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴PC⊥平面BDE，又PC⊂平面PBC，∴平面BDE⊥平面PBC．（Ⅱ）设PD＝CD＝BD＝＝a，∴S四边形ABCD＝＝a2，则VP﹣ABCD＝＝＝，∴a＝．∴PC＝PD＝BC＝a＝2，∴S△PBC＝＝，又S△ABC＝＝2，∴VP﹣ABC＝＝，设A到平面PBC的距离为h，则VA﹣PBC＝＝．∵VP﹣ABC＝VA﹣PBC，∴h＝，解得h＝．20．设O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为．直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点，AF的中点为M，|OM|+|MF|＝5．（1）求椭圆C的方程；,（2）设点P（0，1），＝﹣4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以，所以因为，所以所以，所以椭圆C的方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0所以△＞0，所以，＝因为所以（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4所以整理得：3m2﹣m﹣10＝0解得：m＝2或（舍去）所以直线l过定点（0，2）．21．已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）若点P为函数f（x）图象上的点，求点P到直线y＝x﹣2距离的最小值；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a＞0，若函数g（x）在区间,上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝x2﹣lnx，∴，设P（x0，y0），则点P处切线的斜率为．若点P处的切线与直线y＝x﹣2平行，则点P到直线y＝x﹣2的距离最小，，解得x0＝1或（舍去）．则y0＝1﹣ln1＝1，即P（1，1）．点P到直线y＝x﹣2的距离，即点P到直线y＝x﹣2距离的最小值为；（2）g（x）＝x2﹣lnx﹣ax，g（x）的定义域为（0，+∞），函数g（x）有两个不同的零点可转化为方程有两个不同的实数根．设，则，令φ（x）＝x2﹣1+lnx，则，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＝1时，φ（x）＝0，∴当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴函数h（x）有最小值，且h（x）min＝h（1）＝1.，又，，画出h（x）在上的大致图象如图所示，则由图可知，．故实数a的取值范围为．,请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．解：（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣2＝0，∴曲线M是以（1，1）为圆心，2为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2﹣2ρ（sinα+cosα）﹣2＝0，∴ρ1+ρ2＝2（sinα+cosα），ρ1•ρ2＝﹣2，∵O，A，C三点共线，则①，∴用代替α可得，∵l1⊥l2，∴，∵sin22α∈[0，1]，∴S四边形ABCD∈．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值为1，（1）求实数m的值；（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．【解答】（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，当x（x﹣1）≤0时取到等号，∴f（x）max＝m﹣1＝1，,∴m＝2．（2）证明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，∴ab≤1，∴++＝+＝≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
