铁人中学2022级高二学年上学期期中考试文科数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≤－1或x≥1，则x2≥12．已知命题在命题①②③④中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④3．命题“∃x∈R，x3>0”的否定是( )A．∃x∈R，x3≤0 B．∀x∈R，x3≤0C．∃x∈R，x3<0D．∀x∈R，x3>04.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知某椭圆的一个焦点为，离心率，则该椭圆的标准方程为（ ）A.B.C.D.6.已知经过椭圆的右焦点作直线AB交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（）A.10B.8C.16D.207.已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1D.－＝18.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）9.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是（）A.y2＝－16xB.y2＝12xC.y2＝16xD.y2＝－12x10.已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若，且，则C的离心率为()A.B.C.D.11.已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是（）A．（0，0）B.（3，2）C.（3，－2）D.（2，4)12.如图，和是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、4\n第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分）13.抛物线的焦点坐标为__________．14.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为__________．15.与双曲线有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是__________．16.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是__________．三、解答题（每题14分，共70分）17.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．18.已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．19.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为（1,0）．（1）求抛物线的标准方程及准线方程．（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长．20.已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程．21.已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.铁人中学2022级高二学年上学期期中考试文科数学试题(答案）第Ⅰ卷选择题部分一、选择题：DCBACDAACDDD4\n第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题：13141516三、解答题：17.解：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⇔m＞2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根⇔Δ＝16(m－2)2－16＜0⇔1＜m＜3.∴非p：m≤2，非q：m≤1或m≥3.∵“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，∴p为真且q为假，或p为假且q为真．(1)当p为真且q为假时，即p为真且非q为真，∴，解得m≥3；(2)当p为假且q为真时，即非p为真且q为真，∴，解得1＜m≤2.综上所述，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．18.(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝＝＝＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＋＝0，整理得kAB＝＝－，由于P(4，2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－＝－，于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4，即．19.解：（1）因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且=1，p=2，所以所求抛物线方程为，准线方程为.（2）设，A、B到准线的距离为|AF|=，|BF|=,于是|AB|＝，由已知得直线AB的方程为：，将代入抛物线方程，得，所以，所以|AB|＝=6+2=820.（Ⅰ）解法1：依题意，由，得双曲线方程为．将点代入上式，得．解得（舍去）或，故所求双曲线方程为．解法2：依题意得，双曲线的半焦距．，4\n，．双曲线的方程为．（Ⅱ）解：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得．①直线与双曲线相交于不同的两点，． ②设，则由①式得，，于是．而原点到直线的距离，．若，即，解得．满足②．故满足条件的直线有两条，其方程分别为和21、解：(1)由题意可得，即，由直线与圆相切，可得，解得，即有椭圆的方程为；(2)证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线代入椭圆，可得，即有，，，由，即有，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线l恒过定点；4
