理科数学学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________评卷人得分一、选择题(共12小题,共60分)1.(5分)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}2.(5分)设z＝＋2i，则|z|等于( )A.0B.C.1D.3.(5分)已知a＝π0.2，b＝logπ2，c＝cos2，则( )A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b4.(5分)将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于( )A.
B.C.D.5.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )A.B.5C.6D.76.(5分)释迦塔全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔，是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑，全国重点文物保护单位．与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为(参考数据：tan22.5°＝－1)( )A.B.C.D.7.(5分)第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器“鲲鹏920”
、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为( )A.B.C.D.8.(5分)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限)，点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若·＝0，则双曲线C的离心率为( )A.B.C.D.29.(5分)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)( )A.4B.5C.6
D.710.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是( )A.f(x＋2)＝f(x)B.函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y＝f(x＋1)是奇函数D.f(2－x)＝f(x－1)11.(5分)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为( )A.12πB.34πC.68πD.126π12.(5分)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤|x－k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.[0,1)D.(－1,0]评卷人得分二、填空题(共1小题,共20分)13.(20分)13.(1－2x)5展开式中x3的系数为________．
14.已知a，b为单位向量，c＝2a－b，且〈a，b〉＝，则〈a，c〉＝________.15.曲线f(x)＝(x3－mx)ex－1在点(1，f(1))处的切线与直线x－4y－1＝0垂直，则该切线的方程为_____________________________．16.声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x，则下列结论正确的是________．(填序号)①2π是f(x)的一个周期；②f(x)在[0,2π]上有3个零点；③f(x)的最大值为；④f(x)在上是增函数．评卷人得分三、解答题(共7小题,共80分)14.(12分)已知数列{an}为公差不为0的等差数列，且a2＝3，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an＋2}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.15.(12分)如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC的中点．(1)求证：平面GBD∥平面AMN；(2)求直线AD与平面AMN所成角的正弦值．16.(12分)5G网络(5GNetwork
)是第五代移动通信网络，与之前的四代移动网络相比较而言，5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况，得到的数据如下表所示：(1)请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；(2)若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动，记其中升级5G套餐用户的人数为X，求X的分布列和均值．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.17.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)，动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2.动点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A(2,0)，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1＋S2的最大值．18.(12分)已知函数f(x)＝＋alnx，g(x)＝.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当a＝1时，f(x)＋g(x)－lnx>e.19.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；
(2)过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求|AB|的最值．20.(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋m|＋|x－n|.(1)若m＋n＝0，且不等式f(x)>6的解集为{x|x>1或x<－5}，求mn的值；(2)若m，n均为正实数，且＋＝1，求证：f(x)≥.
1.【答案】C【解析】A＝{x|x≥2}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝{2}．2.【答案】C【解析】z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.3.【答案】A【解析】a＝π0.2>π0＝1，∵1<2<π，∴b＝logπ2∈(0,1)，∵<2<π，∴c＝cos2<0，∴c<b<a.4.【答案】C【解析】y＝sin2x＝cos＝cos.将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝cos＝cos的图象，由题意知2φ－＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ<，所以φ＝.5.【答案】B【解析】如图，连接BD，在△BCD中，由于BC＝CD＝2，∠C＝120°，∴∠CBD＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin120°＝5.
6.【答案】D【解析】如图所示，点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，根据题意知∠BOM＝22.5°，因为tan22.5°＝－1，设AB＝a，则OM＝＝a，又因为二面角P－AB－O的大小为30°，即∠PMO＝30°，所以OP＝OMtan30°＝a，即正八棱锥的高和底面边长之比为.7.【答案】D【解析】根据题意可知，1名学生从15项成果中任选1项成果，其选择“芯片领域”的概率为＝，故没有选择“芯片领域”的概率为，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝，因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝.8.【答案】A【解析】如图，易知A，直线BF的方程为y＝(x－c)，①直线OB的方程为y＝－x，②联立①②得B，
∵·＝0，∴AB⊥OB，∴＝⇒a2＝3b2，又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2，∴e2＝＝，∴e＝.9.【答案】C【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.10.【答案】B【解析】在f(1－x)＝f(1＋x)中，把x换成1＋x，得f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝f(－x)；把x换成1－x，得f(1－(1－x))＝f(1＋(1－x))，即f(x)＝f(2－x)．根据f(－x)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＋f(2－x)＝0，在y＝f(x)的图象上任取一点P(2＋x，y)，则y＝f(x＋2)＝－f(2－x)，即点P′(2－x，－y)在y＝f(x)的图象上，而点P(2＋x，y)和点P′(2－x，－y)关于点(2,0)对称，所以由点P的任意性，知函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称．11.【答案】C【解析】由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得＝2r，即＝2r，所以r＝4.设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则R2＝＋r2＝1＋16＝17，所以外接球的表面积为4πR2＝68π.12.【答案】A【解析】当x≥1时，f(x)＝lnx，所以f′(x)＝，得f′(1)＝1，所以函数f(x)在(1,0
)处的切线方程为y＝x－1，令g(x)＝|x－k|，它与横轴的交点坐标为(k,0)．在同一直角坐标系内画出函数f(x)＝和g(x)＝|x－k|的图象如图所示，利用数形结合思想可知，不等式f(x)≤|x－k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是k≤1.13.【答案】13.－8014.15.4x＋y－1＝016.①②③【解析】13.(1－2x)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kxk，令k＝3，所以x3的系数为(－2)3＝－80.14.a·c＝2a2－a·b＝2－1×1×＝，c2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×1×1×＋1＝3，∴|c|＝，∴cos〈a，c〉＝＝＝.又0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝.15.由题意得f′(x)＝(x3＋3x2－mx－m)ex－1，则f′(1)＝4－2m，所以切线的斜率k1＝4－2m，直线x－4y－1＝0的斜率k2＝.因为两直线相互垂直，所以k1k2＝(4－2m)＝－1，解得m＝4，则k1＝f′(1)＝－4，所以f(x)＝(x3－4x)ex－1，则f(1)＝－3，故该切线的方程为y＋3＝－4(x－1)，即4x＋y－1＝0.
16.y＝sinx的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的最小正周期是2π，故①正确；当f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0,2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，即sinx(1＋cosx)＝0，即sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故②正确；f(x)＝sinx＋sin2x＝sinx＋sinxcosx，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1，令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，当x∈或x∈时，<cosx<1，此时f′(x)>0，则f(x)在，上单调递增，当x∈时，－1≤cosx<，此时f′(x)≤0但不恒为0，则f(x)在上单调递减，则当x＝时，函数f(x)取得最大值，为f＝sin＋sin＝＋＝，故③正确，④错误．14.【答案】解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．由题意知(2分)解得所以an＝2n－1.(5分)(2)由(1)可得，an＋2＝2n＋1，Sn＝(a1＋2)＋(a2＋2)＋(a3＋2)＋…＋(an－1＋2)＋(an＋2)＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＝＝n2＋2n.(8分)所以bn＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＝
＝－.(12分)15.【答案】(1)证明 连接AC交DB于E，连接GE，在△AMC中，G，E分别是CM，CA的中点，所以GE∥AM.因为GE⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，所以GE∥平面AMN.又菱形DBNM中，MN∥BD，同理可证BD∥平面AMN.又因为BD∩GE＝E，BD，GE⊂平面GBD，所以平面GBD∥平面AMN.(5分)(2)解 连接ME，由菱形ABCD与菱形DBNM全等且∠MDB＝∠DAB，可得出AD＝AB＝BD，DM＝BD＝MB.所以ME⊥BD，又平面ABCD⊥平面MNBD且平面ABCD∩平面MNBD＝BD，所以ME⊥平面ABCD.(7分)则以E为坐标原点，EA为x轴，EB为y轴，EM为z轴，建立空间直角坐标系，令AB＝2，则A(，0,0)，D(0，－1,0)，M(0,0，)，N(0,2，)，则＝(－，0，)，＝(－，2，)，＝(－，－1,0)，设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则由得
则可令x＝1，得y＝0，z＝1，平面AMN的一个法向量n＝(1,0,1)，(10分)设直线AD与平面AMN所成的角为θ，sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，则直线AD与平面AMN所成角的正弦值为.(12分)16.【答案】解 (1)依题意，完善表格如下：(2分)K2＝≈4.344>3.841，(4分)故有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关．(6分)(2)依题意知X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，(8分)所以X的分布列为(10分)所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(12分)17.【答案】解 (1)设点P(x，y)，则|x－6|＝2＋2(x<6)，(1分)整理得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.(3分)故曲线C的方程为＋＝1.(4分)
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)．联立整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，(6分)Δ>0显然成立．所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以|y1－y2|＝＝＝，(8分)故S1＋S2＝|OA||y1|＋|OA||y2|＝|OA||y1－y2|＝.设t＝，t≥1，则m2＝t2－1，则S1＋S2＝＝.(10分)因为t≥1，所以3t＋≥4(当且仅当t＝1时，等号成立)．(11分)故S1＋S2＝≤3，即S1＋S2的最大值为3.(12分)18.【答案】(1)解 f(x)＝＋alnx，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝－＋＝.(2分)当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当a>0时，由f′(x)<0，得0<x<，由f′(x)>0，得x>，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(4分)(2)证明 当a＝1时，要证f(x)＋g(x)－lnx>e，即证＋－lnx－e>0⇔ex－ex＋1>.(6分)令F(x)＝ex－ex＋1，x∈(0，＋∞)，则F′(x)＝ex－e，
当x∈(0,1)时，F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增．所以当x＝1时，函数F(x)取得最小值，为1.(8分)令G(x)＝，则G′(x)＝，当0<x<e时，G′(x)>0，此时函数G(x)单调递增；当x>e时，G′(x)<0，此时函数G(x)单调递减，所以当x＝e时，函数G(x)取得最大值，为1.(10分)因为F(x)的最小值在x＝1时取得，G(x)的最大值在x＝e时取得，所以F(x)>G(x)，即ex－ex＋1>.故当a＝1时，f(x)＋g(x)－lnx>e.(12分)19.【答案】解 (1)由(t是参数)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＋y－6＝0.由ρ＝2cos得ρ＝2cosθ＋2sinθ，则有ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，可得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，可知曲线C是以(1,1)为圆心，为半径的圆，则曲线C的参数方程为(α是参数)．(5分)(2)如图，过点A作AH⊥l于点H，则|AB|＝|AH|，所以求|AB|的最值转化为求|AH|的最值，
即转化为求圆上的点到直线l的距离的最值．易知圆心(1,1)到直线l的距离为2，所以可知|AH|的最大值为3，最小值为，故|AB|的最大值为6，最小值为2.(10分)20.【答案】(1)解因为m＋n＝0，所以f(x)＝2|x＋m|.(1分)不等式f(x)>6即|x＋m|>3，解得x>3－m或x<－3－m，因此3－m＝1且－3－m＝－5，解得m＝2.(3分)故m＝2，n＝－2，从而mn＝－4.(5分)(2)证明 由于m，n均为正实数，所以f(x)＝|x＋m|＋|x－n|≥|(x＋m)－(x－n)|＝m＋n，(7分)而m＋n＝(m＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即m＝2n时取等号．(9分)故f(x)≥.(10分)
