定远县民族中学2021-2022学年度上学期9月教学质量检测理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．3．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．5．已知向量，若，则（）A．B．C．D．6．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最
大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（）A．分B．分C．分D．分7．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（）A．B．C．D．9．已知函数，实数，满足，且的最小值为，由的图象向左平移个单位得到函数，则的值为（）A．B．C．D．10．已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（）A．B．C．或D．或11．已知函数.若函数有四个零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．
12．设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：①若对任意，都有，则存在且唯一；②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数；③若对任意，都有，则当时，必有；④若函数不存在反函数，则在上不是单调函数.其中正确的命题为（ ）A．①②B．②④C．①③④D．③④二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知命题，，则为__________．14．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．15．已知向量，.若向量，的夹角为，则实数_____.16．已知，且，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设集合．（1）证明：若，则：（2）已知集合，若的子集共有个，求的取值范围．18．（12分）已知：函数在上单调递减，：关于的方程的两根都大于1.（1）当时，是真命题，求的取值范围；（2）若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围.19．（12分）的内角的对边为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.20．（12分）已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设向量.（1）若|+|=||，求的值；（2）设，且∥(+)，求的值.22．（12分）设函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根、，求证：．
参考答案1．A解析：，，，故选A．2．C解析：函数，其定义域为，且，所以为偶函数，当时，，即函数在上单调递增，∵，，∴，即，则，选项C正确，选项ABD错误.故选：C.3．A解析：由可得，所以，函数和函数在上的图象有个交点，因为对任意的，都有，即，所以，函数是周期为的周期函数，因为是定义在上的偶函数，且当时，，则.作出函数和函数在上的图象如下图所示：
要使得函数和函数在上的图象有个交点，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.4．D解析：因且，则，于是得函数定义域为，又，即为奇函数﹐C不正确；而，B不正确；因时，，，则，A不正确，D符合.故选：D5．D解析：由，又，∴，可得.故选：D6．B解析：由题意得：，；，该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.7．B解析：当时，的导数为；当时，的导数为，设，，，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点，处的切线方程为：；当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，由①及得，由①②令，则，且，记导数为，且在恒成立，则函数在为减函数，，∴实数的取值范围是．故选：B8．C解析：设，因为复数在复平面内对应的点在直线上，所以，又，所以，解得或，所以，故选：C9．A解析：由题得，函数的最大值是2，最小值是-2.因为，所以，因为的最小值为，所以函数的最小正周期为，所以.所以，由的图象向左平移个单位得到函数，所以
.故选：A10．D解析：因为为奇函数，所以，如图，由区间概念可推知，得，（1）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，由方程，得，解得，，所以，，即；（2）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，由方程，得，解得，，
解得，，即，故选：D.11．B解析：函数，函数性质分段讨论如下：当时，最小值为-1，当时，令解得：，所以函数递减，函数递增,且时，综合以上分析，作出函数图象，如图.由图可知，函数有两个零点，和（*），再考察函数的零点，由（*）可知，或，即或根据题意，这两个方程共有四个根，结合函数图象，解得，.故选：B12．D解析：若或，都满足对任意，都有，故①错误；不妨设函数的周期为，则，故在上不是单调函数，故②错误；∵，∴，又∵，∴；故③正确；∵若在上是单调函数，则函数存在反函数；
∴若函数不存在反函数，则在上不是单调函数，故④正确.故选：D.13．，解析：根据题意，命题，是特称命题，则，，故答案为：，．14．解析：由得，因为是不等式成立的充分不必要条件，∴满足且等号不能同时取得，即，解得．故答案为：15．解析：由题意两边平方化简得，解得故答案为：-116．-7【解析】（舍）．17．（1）证明见解析；（2）．解析：（1）设，，，则因为，，所以，所以（2）因为的子集共有个元素，
所以恰有个元素．因为，所以这三个元素分别为，，，又集合中比大的元素的最小值为，所以的取值范围为．18．（1）；（2）.解析：（1）因为，所以，因为是真命题，所以，解得.故的取值范围是.（2）若是真命题，则，解得.关于的方程的两根分别为和.若是真命题，则，解得.因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以.19．（1）；（2）.解析：（1）∵，∴∵，∴∴，∴，∵，∴（2），∴，∵，∴∵为锐角三角形，∴，∴∴，∴∴，∴．
20．（1），；（2）.解析：（1）当时，，，∴在单调递减，在单调递增，，，∴，.（2），则，∴在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，作出函数和得图像，∴由图象可得，.21．（1）；（2）.解析：（1），
，，，解得：；（2），，，，，，化简为，，，，解得：22．（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.解析：（1）解：．当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为；当时，由，得；由，得．所以函数的单调增区间为，单调减区间为（2）证明：因为、是方程的两个不等实根，由（1）知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，
当时，，当时，，故要证，只需证即可，即证明，即证明，即证明．设．令，则．因为，所以，所以在上是增函数．所以，所以成立．
