2021年“山东学情”高二10月联合考试数学试题(A卷)考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2.请将答案正确填写在答题卡上。第I卷(选择题)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知不共线的两个向量、，若＝＋、＝－、＝，则A.、共线B.、、共面C.、、共线D.、共线2.已知、为空间中的两个非零向量，模长均为2，它们的夹角为45°，那么|＋|＝A.20B.C.2D.23.已知＝(1，1，2)，＝(－2，0，1)，＝(，－1，1)，下列等式正确的个数①|＋＋|＝|－－|；②(＋)·＝·(＋)；③(＋＋)2＝2＋2＋2④(·)·＝·(·)。A.2个B.1个C.4个D.3个4.已知空间四点A(1，3，4)，B(3，1，2)，C(7，－5，3)，D(－1，3，z)共面，则z的值为A.1B.3C.11D.55.如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PD的三等分点，若，，，则用基底{，，}表示向量为
A.B.C.D.6.在直三棱柱ABC－A'B'C'中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线AB'与BC'所成角的余弦值为A.B.C.D.7.如图，在一个45°的二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为A.1B.2C.D.38.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则A.直线CE//平面A1BDB.CE⊥BD1C.三棱锥C1－B1CE的体积为D.直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为3二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，选对但不全得2分，有选错的得0分)9.设{，，}是空间的一组基底，则下列结论正确的是A.基底{，，}中的向量可以为任意向量。B.空间中任一向量，存在唯一有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋zC.若⊥，⊥，则⊥D.{＋2，＋2，＋2}也可以构成空间的一组基底。10.给出下列命题，其中正确的命题为
A.若，则一定有点O与点E重合，点P与点F重合。B.若<，>为钝角，则<0。C.若为直线m的方向向量，则λ(λ∈R且λ≠0)也是直线m的方向向量。D.非零向量，，，满足与，与，与都是共面向量，则，，，必共面。11.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高为2，E是DD1的中点，则A.CE//A1BB.平面B1CE//平面A1BDC.三棱锥C－B1C1E的体积为D.三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积为6π12.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中AB＝AD＝，AA1＝1，∠DAB＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，下列说法中正确的是A.AC1＝B.AC1⊥DBC.向量与的夹角是45°D.BD1与AC所成角的余弦值为第II卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.＝(1，1，1)是平面β的一个法向量，如果直线m与平面β垂直，则直线m的单位方向向量＝。
14.设m，n∈R，向量＝(m，0，1)，＝(，n，)，＝(1，－2，1)，且⊥，//，则|2＋|＝。15.已知点A(1，－1，0)，B(3，0，0)，C(3，2，0)，D(4，3，)，则向量在向量上的投影向量的模为。16.已知△ABC是正三角形，OA⊥平面ABC，且OA＝AC＝2，则OB与平面OAC所成角的余弦值为(2分)。若点A关于直线OC的对称点为A'，则直线AA'与BC所成角的余弦值为。四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题10分)已知空间内不重合的四点，坐标分别为A(－1，1，2)，B(1，1，－2)，C(1，0，2)，D(m＋1，m＋n，n＋1)(1)若，求点D的坐标；(2)若CD与平面ABC垂直，求m和n的值。18.(本题12分)已知＝(1，2，4)，＝(－1，1，2)(1)求cos<，>的值。(2)若(k＋)//(＋2)，求实数k的值。(3)若(k＋)⊥(＋2)，求实数k的值。19.(本题12分)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面是矩形，且PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。(用向量法解决下列问题)(1)求证：，，共面。(2)求证：EF⊥AB。
20.(本题12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的三等分点()。(用向量法解决下列问题)(1)证明：B，F，D1，E四点共面；(2)若AB＝4，∠BAD＝60°，求点F到平面BB1D1的距离。21.(本题12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点。(1)求证：AB1//平面BDC1；(2)求平面C1BD与平面CBD夹角的余弦值。22.(本题12分)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD。(1)求证：DE//平面PBC；
(2)求平面GPC与平面BPC夹角的余弦值。(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由。
