黑龙江省八校2022届高三数学（理）上学期期中联合考试试卷（PDF版附答案）

2021-2022学年度上学期八校期中联合考试高三理科数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin600°＋tan240°的值为（）333333A．B．C．D．22222．已知集合Ax1x2，集合Bxxm，若AðRB，则m的取值范围为（）A．,1B．,2C．1,D．2,3．在等差数列an中，已知a3a5a718，则该数列前9项的和为（）A．54B．63C．66D．72|x|4.已知命题p:xR,sinx1；命题q:xR，e1,则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pqC55．在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB等于（）25A．42B．30C．29D．251216．已知数列an满足a12，a21，且aaaan2，则a4a5（）n1nn111792A．B．C．D．1561057．在ABC中，若AB(AB2AC),AC(AC2AB)，则ABC的形状为（） A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8．已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是（）A．f(x)是偶函数，递增区间是(，0)B．f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，)π9.函数fxAsinx（0，）的部分图象如2图所示，则（）ππππA．B．C．D．336610．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d．已知a312S100，a60，则选项不正确的是（）Sn24A．数列的最小项为第6项B．d4a5nC．a50D．Sn0时，n的最大值为5x11.已知fxelnx2x，若x是函数fx的一个零点，则xlnx的值为（）0001A.0B.1C.1D.e1e0.05ln1.112.已知ae，b1，c1.1，则（）2A.abcB.cbaC.bacD.acb第Ⅱ卷（共90分）第13题～第22题为必考题，每个试题考生都必须做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13.在ABC中，AE3EC，D是BE上的点，若2ADxABAC，则实数x的值为_______________.3 3tan()cos(2)sin(a)14．化简：2的值为________________.cos(a)sin(a)215．已知函数fx2sinx3cos2x．若关于x的方程fxm2在x,上442有解，则实数m的取值范围是____________.16．已知ABC中，D、E分别是线段BC、AC的中点，AD与BE交于点O，且BOC90°，若BC2，则ABC周长的最大值为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．(本小题10分)已知向量a，b的夹角为60，且a(1,0)．（1）若|b|2，求b的坐标；（2）若(ab)(ab)，求|a2b|的值．18．(本小题12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c3，且1sinCcosC.64（1）求角C的大小；（2）若向量m1,sinA与n2,sinB共线，求ABC的面积π19．(本小题12分)已知向量m2,sin，ncos,1，其中0,，且mn.2（1）求sin2和cos2的值;10π（2）若sin，且0,，求角.102rr20．(本小题12分)设asinx,cosx,bcosx,cosxxR，函数fxaab（1）求函数fx的最小正周期及最大值；（2）求f(x)的单调递增区间． 21．(本小题12分)已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且*2Snana1nN.（1）求a1的值，并求an1的解析式（用含an的式子表示）；（2）若对于一切正整数n，有Snan3恒成立，求实数的取值范围.22．(本小题12分)已知函数fxlnx1kx11（kR）.（1）求函数fx的单调区间；（2）若fx0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；2ln2ln3ln4lnnnn*（3）证明：（n2，nN）.345n14 31112021-2022学年度上学期八校期中联合考试参考答案理数所以sin2Ccos2C，所以sin2C1---------4分44446（仅供参考！不当之处，请您谅解。）所以2C2k,kZ，所以Ck,kZ6231．【答案】C2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C因为C是ABC的内角，所以C----------6分7．【答案】C8．【答案】C9.【答案】B10．【答案】D11.【答案】A12.【答案】D3113.（2）因为向量m1,sinA与n2,sinB共线914．1所以sinB2sinA0，即b2a0--------8分2229a24a24a2115．0,1由余弦定理可得cab2abcosC，即216．2210解得a3,b23---------10分三、解答题(共90分)33所以ABC的面积为---------12分17．已知向量a，b的夹角为60，且a(1,0)．2π（1）若||2b，求b的坐标；（2）若(ab)(ab)，求|a2b|的值．19．已知向量m2,sin，ncos,1，其中0,，且mn.2解（1）向量a，b的夹角为60，且a(1,0)，设b(,)xy，若||2b，（1）求sin2和cos2的值;abx10π则cos60，x1．（2）若sin，且0,，求角.||||ab12102||bx2y22，y3，故b(1,3)解:（1）∵mn，∴2cossin0，即sin2cos.．---------6分代入cos2sin21，得5cos21，（2）因为(ab)(ab)，π525(ab)(ab)a2b20，又0,，则cos，sin.255a(1,0)，||1b．5254则sin22sincos2.-----------4分2221555|a2|b(a2)ba4ab4b1443.--------12分22131cos22cos121.----------6分18．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c3，且sinCcosC.5564ππππ（1）求角C的大小；(2)∵0,，0,，∴,.2222（2）若向量m1,sinA与n2,sinB共线，求ABC的面积10310又sin，∴cos.-----------8分10101311解:（1）因为sinCcosC，所以sinCcosCcosC64224∴sinsin=sincoscossin试卷第1页，共3页 2531051022=.------------10分4Sn1an12an11.5105102ππ4S4S4aa2a22a2a，由0,，得.---------12分n1nn1n1nn1n24rr22即aa2a2a0，-------4分20．设asinx,cosx,bcosx,cosxxR，函数fxaabn1nn1n（1）求函数fx的最小正周期及最大值；即an1anan1an2an1an0（2）求f(x)的单调递增区间．an1an2an1an0，an0，rraa2.解:由题意，向量asinx,cosx,bcosx,cosxxR，n1n2aa2nN*.---------6分可得函数fxa(ab)aabsin2xcos2xsinxcosxcos2xn1n11cos2x11323（2）由（1）可知，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，1sin2xsin2xcos2xsin(2x)，22222242*T2，----------6分ana1(n1)d2n1nN，所以函数f(x)的最小正周期为2a1ann232Sn.--------8分当2x2k,kZ时，即xk,kZ，函数取得最大值，最大值为.n2428242n4223由Sa3，得n22n13，即对一切正整数n恒成立.（2）由（1）知，函数fxsin(2x)，nn22nnn24242kxkkZ，解得3kxk,kZ，2.-------10分令222,88nnmin242342421121所以函数fx的单调递增区间为[k,k],kZ.-------12分令t，则t4nN*.88n2nn2nn44*21．已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snana1nN.1当n4时，t.min4（1）求a1的值，并求an1的解析式（用含an的式子表示）；1.---------12分4（2）若对于一切正整数n，有Snan3恒成立，求实数的取值范围.22．已知函数fxlnx1kx11（kR）.*解:（1）an0，2Snana1nN，（1）求函数fx的单调区间；当n1时，2S1a1a1S1a1，解得a11.（2）若fx0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；2由2Snana1，得4Snan2an1.ln2ln3ln4lnnn2n*（3）证明：（n2，nN）.345n14试卷第2页，共3页 解：（1）因为fxlnx1kx11（kR），1所以fx的定义域为1,，fxk.x1若k0，则fx0，fx在1,上为增函数；k1kx若k0，则1k，fxkx1x111当1x1时，fx0，当x1时，fx0.kk综上，当k0时，fx的单调递增区间为1,；11当k0时，fx的单调递增区间为1,1，单调递减区间为1,.-------3分kk（2）由（1）知k0时，f(x)在(1,)上是增函数，而f（2）1k0，f(x)0不成立，故k0，1又由（1）知f(x)的最大值为f(1)，要使f(x)0恒成立，k1则f(1)0即可，即lnk0，得k1；---------6分k（3）证明：当k1时，有f(x)0在(0,)恒成立，且f(x)在(2,)上是减函数，f（2）0，即ln(x1)x11在x(2,)上恒成立，222令x1n，则lnnn1，即2lnn(n1)(n1)，lnnn1*(nN且n1)，n122ln2ln3ln4lnn123n1nn，345n1222242ln2ln3ln4lnnnn*即：（n2，nN）成立．---------12分345n14试卷第3页，共3页