2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A．y＝x2﹣（x+4）（x+2）B．y＝2（x+1）（x﹣3）C．y＝ax2+bx+cD．y＝2．（4分）已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）A．B．C．D．3．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）A．2（+）＝2+2B．如果＝﹣2，那么||＝2||C．是非零向量，是单位向量，那么||•＝||D．m（n）＝（mn）4．（4分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A＝∠B，∠D＝∠EB．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC5．（4分）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（ ）A．3：8B．1：4C．3：5D．2：36．（4分）如图，在△ABC中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠ACB＝90°的选项是（ ）第26页共26页
A．AC2＝AD•ABB．AC•AD＝CD•CBC．CD2＝AD•BDD．AC•BC＝AB•CD二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝ ．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝ ．9．（4分）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 ．10．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．11．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 ．12．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x＝2时，y＝ ．13．（4分）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么＝ ．（用表示）14．（4分）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，＝，＝，那么＝ ．（用、表示）15．（4分）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是 cm．第26页共26页
16．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，若S△ABC＝36cm2，则△ACD的面积是 cm2．17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的长为 ．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 ．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知向量、，求作向量，满足（2﹣2+）＝﹣．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”第26页共26页
，试求抛物线y＝x2﹣4x的“不动点”的坐标．22．（10分）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．（1）求证：DE∥BC；（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．23．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），与y轴交于点A，对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABM的面积；（3）点P是抛物线上一点，且∠PMB＝∠ABM，试直接写出点P的坐标．25．（14分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G．第26页共26页
（1）如图，当点G在BC延长线上时，求的值；在点E的运动过程中，的值是否发生改变？（2）设BE＝m，用含m的代数式表示线段CG的长；（3）如果点G在BC延长线上，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．第26页共26页
2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A．y＝x2﹣（x+4）（x+2）B．y＝2（x+1）（x﹣3）C．y＝ax2+bx+cD．y＝【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．【解答】解：A、y＝x2﹣（x+4）（x+2）＝x2﹣x2﹣6x﹣8＝﹣6x﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；B、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x2﹣2x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；C、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意；D、y＝的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；故选：B．2．（4分）已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a﹣2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b＝2，第26页共26页
∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：D．3．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）A．2（+）＝2+2B．如果＝﹣2，那么||＝2||C．是非零向量，是单位向量，那么||•＝||D．m（n）＝（mn）【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可．【解答】解：A、2（+）＝2+2，计算正确，不符合题意；B、如果＝﹣2，那么||＝2||，计算正确，不符合题意；C、是非零向量，是单位向量，那么||•＝，计算不正确，符合题意；D、根据数乘向量的性质即可判断m（n）＝（mn）计算正确，不符合题意．故选：C．4．（4分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A＝∠B，∠D＝∠EB．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC【分析】根据相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；B、根据∠B＝∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；C、△ABC三边长分别为6，18，21，则三边之比为2：6：7，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；D、DE：AB＝EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．故选：C．5．（4分）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（ ）第26页共26页
A．3：8B．1：4C．3：5D．2：3【分析】由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD＝1，BC＝4，点G是BD的中点，设OD＝x，OB＝4x，则BD＝5x，可求得OG＝1.5x，由GE：BC＝OG：OB即可得到答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD＝1，BC＝4，∴OD：OB＝AD：BC＝1：4，∴设OD＝x，OB＝4x，则BD＝5x，∵点G是BD的中点，∴BG＝BD＝2.5x，∴OG＝OB﹣BG＝4x﹣2.5x＝1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC＝OG：OB＝1.5x：4x＝3：8．故选：A．6．（4分）如图，在△ABC中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠ACB＝90°的选项是（ ）A．AC2＝AD•ABB．AC•AD＝CD•CBC．CD2＝AD•BDD．AC•BC＝AB•CD【分析】根据相似三角形的判定方法延长进行判断即可．【解答】解：A．∵AC2＝AD•AB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD，∵∠B+∠DCB＝90°，第26页共26页
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACB＝90°；所以A选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；B．∵AC•AD＝CD•CB，∴＝，而CB和AD不是对应边，如果AC•DB＝CD•CB，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠DCB，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠ACB＝90°；所以B选项不一定能推出∠ACB＝90°，符合题意；C．∵CD2＝AD•DB，∴＝，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACB＝90°；所以C选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；D..∵AC•BC＝AB•CD，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACB＝90°；所以D选项一定能推出∠ACB＝90°，不符合题意；故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝ 1：3 ．第26页共26页
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵a：b＝3：2，∴b＝a，∴（a﹣b）：a＝（a﹣a）：a＝1：3．故答案为：1：3．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝ 2 ．【分析】设AB＝m，根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，构建方程求出m即可．【解答】解：设AB＝m．由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝m，∴m﹣m＝﹣1，解得m＝+1，∴AP＝×（+1）＝2，故答案为：2．9．（4分）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 7.5 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，第26页共26页
∴＝，解得：DF＝4.5，∵BD＝3，∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，故答案为：7.5．10．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 y＝2（x﹣1）2 ．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3；再向上平移3个单位为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3+3，即y＝2（x﹣1）2．故答案是：y＝2（x﹣1）2．11．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 ﹣3或1 ．【分析】把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可．【解答】解：y＝2时，x2+2x﹣1＝2，整理得，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，所以，对应的自变量x的值是﹣3或1．故答案为：﹣3或1．12．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x＝2时，y＝ ﹣11 ．【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x＝0，然后求出当x＝2时y的值．【解答】解：由表格数据可知：当x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝﹣2，则二次函数的图象对称轴为x＝0，又知x＝﹣2和x＝2关于x＝0对称，当x＝﹣2时，y＝﹣11，即当x＝2时，y＝﹣11．故答案为﹣11．第26页共26页
13．（4分）如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么＝ ﹣ ．（用表示）【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量为单位向量，向量与单位向量方向相反，且长度为，∴＝﹣．故答案是：﹣．14．（4分）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，＝，＝，那么＝ ．（用、表示）【分析】根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可．【解答】解：根据三角形的重心定理，AG＝AD，于是＝＝．故＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．15．（4分）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是 4 cm．【分析】过A作AH⊥BC于H，交GF于M，由矩形的性质得GF∥BC，DG＝EF＝2cm，GF＝DE＝3cm，再证△AGF∽△ABC，求出AM＝2（cm），则AH＝AM+MH＝4（cm），即可求解．第26页共26页
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，交GF于M，如图所示：则MH＝EF＝2cm，∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥BC，DG＝EF＝2cm，GF＝DE＝3cm，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AM＝2（cm），∴AH＝AM+MH＝4（cm），即边BC上的高的长是4cm，故答案为：4．16．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，若S△ABC＝36cm2，则△ACD的面积是 16 cm2．【分析】利用给定的条件可以判定△ACD∽△ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ACD的面积．【解答】解：∵D是AB上一点且∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝∴＝＝＝∵S△ABC＝36cm2第26页共26页
∴△ACD的面积是36×＝16，∴△ACD的面积是16cm2．故应填：16．17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的长为 ．【分析】如图，证明AE⊥AD，求出DE的长度；证明△ADF∽△DEC，得到＝；运用AD＝4，DE＝2，CD＝AB＝，求出AF的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠ADC．而AE⊥BC，∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC．∴DE2＝AE2+AD2＝4+16＝20，∴DE＝2．∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，∴∠DAF＝∠EDC．∴△ADF∽△DEC，∴＝．∵AD＝4，DE＝2，CD＝AB＝，∴AF＝．故答案为：．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB第26页共26页
上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 2或4 ．【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．【解答】解：如图1，当点D1在线段AE1上，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝AC＝2，∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，∴D1B＝2＝DB，∠BD1E1＝90°，∴AD1＝＝＝2，∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝4，如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝2，第26页共26页
综上所述：CD1＝2或4，故答案为：2或4．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知向量、，求作向量，满足（2﹣2+）＝﹣．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）【分析】由题意，＝2﹣，利用三角形法则画出向量CD＝2﹣【解答】解：∵（2﹣2+）＝﹣，∴2﹣2+＝2﹣，∴＝2﹣，如图，即为所求．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 ＞ y2．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8），第26页共26页
∴，解得，∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+8；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+7，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵0＜x1＜x2＜1，∴y1＞y2．故答案为：＞．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”，试求抛物线y＝x2﹣4x的“不动点”的坐标．【分析】（1）a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（2，﹣4）；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，即可求解；【解答】解：（1）y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∵a＝1＞0，∴故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（2，﹣4），当x＞2，y随x的增大而增大，当x＜2，y随x增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣4t，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．22．（10分）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．（1）求证：DE∥BC；（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．第26页共26页
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，根据相似三角形的性质得到，＝，等量代换得到＝，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得AN＝，得到MN＝，推出△MGN∽△CGB，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，∴△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，∴，＝，∵AM＝AN，∴＝，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝，∵MN∥BC，∴△BDE∽△BAN，∴＝＝，∴AN＝，∴MN＝，∵DE∥MN，DE∥BC，∴MN∥BC，∴△MGN∽△CGB，第26页共26页
∴＝＝＝．23．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC＝∠B＝45°，从而结合∠DAE＝45°得到∠DAC＝∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP＝∠BAC＝∠B＝45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE＝AC：AB，转化为AD：AC＝AE：AB，结合∠DAE＝∠CAB＝45°得证结果；（2）结合∠ACD＝45°和∠ACB＝90°，由CD＝CE得到∠CDE＝∠CED＝22.5°，从而得到∠DAC＝22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∵∠DAE＝45°，PC∥AB，∴∠DAC＝∠EAB，∠ACD＝∠BAC＝∠B＝45°，∴△ADC∽△AEB，∴＝，即＝，∵∠DAE＝∠BAC＝45°，∴△ADE∽△ACB．（2）∵∠ACD＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣90°﹣45°＝45°，第26页共26页
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣22.5°﹣45°＝22.5°，∴∠CAD＝∠CDE，又∵∠OCD＝∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴＝，∴CD2＝CO•CA．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），与y轴交于点A，对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABM的面积；（3）点P是抛物线上一点，且∠PMB＝∠ABM，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，依题意得出三元一次方程组，解方程得出a、b、c的值，即可求出抛物线的解析式；（2）连接AB，过点M作y轴的平行线交AB于点Q，连接AM、BM，求出直线AB的解析式，求出点Q的坐标，得出MQ的长，再利用S△ABM＝S△MQA+S△MQB，即可求出△ABM的面积；（3）分PM在AB的左侧和右侧两种情况进行讨论，即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线经过点B（3，1）、C（﹣2，6），对称轴为直线x＝1，第26页共26页
∴，解得：，∴设抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣2；（2）如图1，连接AB，过点M作y轴的平行线交AB于点Q，连接AM、BM，当x＝0时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝﹣3，∴A（0，﹣2），M（1，﹣3），设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（0，﹣2），B（3，1）代入得：，解得：，∴y＝x﹣2，当x＝1时，y＝﹣1，∴Q（1，﹣1），∴MQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴S△ABM＝S△MQA+S△MQB＝•MQ•|xB﹣xA|＝×2×|3﹣0|＝3；（3）如图2，分两种情况分类讨论：第26页共26页
①当PM在AB的左侧时，PM交AB于点D，设D（t，t﹣2），∵B（3，1）、M（1，﹣3），∴BD＝，MD＝，∵∠PMB＝∠ABM，∴BD＝MD，∴＝，解得：t＝，∴D（，﹣），设直线MD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MD的解析式为y＝7x﹣10，∴，解得：，，∴P（8，46），②当PM在AB的右侧时，PM交抛物线于点P，∵∠PMB＝∠ABM，∴AB∥PM，∴设直线MP的解析式为y＝x+d，第26页共26页
把M（1，﹣3）代入得：﹣3＝1+d，∴d＝﹣4，∴直线MP的解析式为y＝x﹣4，∴，解得：，，∴P（2，﹣2），综上所述，点P的坐标为（8，46）或（2，﹣2）．25．（14分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G．（1）如图，当点G在BC延长线上时，求的值；在点E的运动过程中，的值是否发生改变？（2）设BE＝m，用含m的代数式表示线段CG的长；（3）如果点G在BC延长线上，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．【分析】（1）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，证明△DCE∽△ADF，根据相似三角形的性质解答；（2）分点G在BC延长线上、点G在BC上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到＝，把已知数据代入计算，得到答案；（3）分△DEB∽△GFD、△DEB∽△DFG两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）如图1，设DE与AG交于点H，当点G在BC延长线上时，∵∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，第26页共26页
∴△DCE∽△ADF，∴＝＝＝；如图2，当点G在BC上时，同理可证，△DCE∽△ADF，∴＝，综上所述，在点E的运动过程中，的值不发生改变；（2）如图1，当点G在BC延长线上时，∵BE＝m，BC＝4，∴EC＝4﹣m，由（1）可知：DF＝2EC＝8﹣2m，∴FC＝DC﹣DF＝2﹣（8﹣2m）＝2m﹣6，∵AD∥CG，∴＝，即＝，解得：CG＝（3＜m＜4），如图2，当点G在BC上时，∵BE＝m，BC＝4，∴EC＝4﹣m，由（1）可知：DF＝2EC＝8﹣2m，∴FC＝DF﹣DC＝（8﹣2m）﹣2＝6﹣2m，∵AD∥CG，∴＝，即＝，解得：CG＝（0＜m＜3）；（3）如图3，当△DEB∽△GFD时，∠GDF＝∠DBE，∵∠DCG＝∠BCD，∴△DCG∽△BCD，∴＝＝，∴CG＝1，∵＝，第26页共26页
∴＝，解得：DF＝；当△DEB∽△DFG时，设DF＝a，则FC＝2﹣a，EC＝a，∴BE＝4﹣a，∵AD∥CG，∴＝，即＝，解得：FG＝，∵△DEB∽△DFG，∴＝，即＝，整理得：3a2+8a﹣16＝0，解得：a1＝，a2＝﹣4（舍去），综上所述：当△DBE与△DFG相似时，DF的长为或．第26页共26页
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