浙江省宁波市江北区2021-2022学年九年级第二次月考数学试卷（范围：九上全册）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米3．（3分）若ba=14，则a+ba=（ ）A．54B．45C．34D．434．（3分）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（ ）A．20°B．35°C．55°D．70°5．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）A．13B．14C．19D．1166．（3分）将抛物线C1：y＝（x﹣2）2向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（ ）A．y＝（x﹣5）2+2B．y＝（x﹣5）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2
7．（3分）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则（ ）A．a＜2或a＞10B．2＜a＜10C．a＞2D．a＜108．（3分）下列不等式成立的是（ ）A．sin60°＜sin45°＜sin30°B．cos30°＜cos45°＜cos60°C．tan60°＜tan45°＜tan30°D．sin30°＜cos45°＜tan60°9．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）A．93-3πB．6π-93C．3π-93D．93-6π10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）A．n=m24B．n=m22C．n=(m+1)24D．n=(m+1)22二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.11．已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为 ．12．如图，若△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△DEF与△ABC的周长比为 ．13．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为 ．14．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 ．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，△A′B′C≌△ABC．点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么＝ ．
16．设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有m个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对（m，n）是 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）17.某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组.（1）甲分到A组的概率为________；（2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率.18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BC=12,AD=6,tanC=32.（1）求sin∠ABD的值；（2）过点B作BE⊥BC，若BE=10，求AE的长.19.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC=DF：CG.求证：（1）AG平分∠BAC；（2）EF·CG=DF·BG．
20.如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．（1）延长ED交CH于点F，求证：FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．21.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润
22.如图，抛物线y=ax2-32x+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0,-2)，tan∠ABC=12.直线x=1交BC于点D，点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PD. （1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，连接PC，求△PCD面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，连接AC，过点P作PE⊥BC于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.23.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．
参考答案一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．【解答】解：因为y＝（x﹣1）2+1是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1，1）．故选：A．2．【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；故选：D．3．【解答】解：∵ba=14，∴a＝4b∴a+ba=4b+b4b=54．故选：A．4．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∵∠AOD＝∠A+∠C＝70°，∴∠C＝35°，故选：B．5．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DEAC=BEBC=14，∴S△DOES△AOC=(DEAC)2=116，故选：D．
6．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得直线解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2，即y＝（x﹣5）2+2．故选：A．7．【解答】解：∵点B表示实数6，⊙B半径为4．∴数轴与⊙B的交点表示的数为2或10，∵点A表示实数a，点A在⊙B内，∴2＜a＜10，故选：B．8．【解答】解：A、∵32＞22＞12，∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故选项不成立；B、∵32＞22＞12，∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故选项不成立；C、∵3＞1＞33，∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故选项不成立；D、∵12＜22＜3，∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故选项成立．故选：D．9．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，
∴CD=62-32=33，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD=60π×62360-12×3×33=6π-932，∴阴影部分的面积为90π×62360-2×（6π-932）＝93-3π，故选：A．10．【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，∴函数的对称轴为x=12（1+m+2）=m+32=b2×1，解得b＝m+3，∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c=14（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+14（m+3）2=(m+1)24，故选：C．二．填空题（共6小题）11．【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．【解答】解：设a、b的比例中项为x，∵a＝3，b＝27，∴，即x2＝81，∴x＝±9，∴a，b的比例中项为±9，故答案为：±9．12．【分析】如图，设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．【解答】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE2＝22+22，EF2＝22+42，∴DE＝2，EF＝2；同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，∴＝＝＝，∴△EDF∽△BAC，∴△DEF与△ABC的周长比为：：1．故答案为：：1．13．【分析】画树状图，共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有4种情况，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图所示：共有9种等可能情况，两次都摸到红球的有4种情况，∴两次都摸到红球的概率为，故答案为：．14．【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．【解答】解：由题意得：y＝200+200x+200（1+x）2＝200+200x+200+400x+200x2＝200x2+600x+400，故答案为：y＝200x2+600x+400．15．【分析】作辅助线；首先求出BM的长度，进而求出AC、BB′的长度；证明△A′DC∽△ADB′，得，即可解决问题．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴；设BC＝3λ，则AB＝5λ，由勾股定理得AC＝4λ，由射影定理得：BC2＝BM•AB，∴BM＝λ．由△A′B′C≌△ABC得：CB＝CB′，A′C＝AC＝4λ，∠A′＝∠A；而CM⊥BB′，
∴B′M＝BM，AB′＝5λ﹣λ＝λ，∵∠A′＝∠A，∠A′DC＝∠ADB′，∴△A′DC∽△ADB′，∴，故答案为：．16．【分析】分m＝1和m＝2两种情况，利用函数和x轴交点情况，分别求解即可．【解答】解：（1）当m＝1时，则a＝b，当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1＝a2x2+2ax+1，则△＝4a2﹣4a2＝0，故n＝1，当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝1，则n＝0；（2）当m＝2时，则a≠b，当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，则△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，故n＝2，当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝（a+b）x+1，则n＝1；故答案为：（1，1）、（1，0）、（2，2）、（2三、解答题（本大题共7小题，共66分）17.【答案】（1）13（2）解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，所以P(甲乙不在同一组)＝69=23.【考点】列表法与树状图法，概率公式【解析】【解答】解：（1）甲分到A组一种情况，总的有三种，则P（A）=13，【分析】（1）共有A、B、C三种等可能性，而甲分到A组一种情况，利用概率公式计算即可；（2）列举出共有9种等可能结果，其中甲乙分到同一组的结果有3种，利用概率公式计算即可.18.【答案】（1）解：在Rt△ADC中∵AD=6,tanC=32∴CD=4∴BD=12－4=8
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AB=BD2+AD2=10 ∴sin∠ABD=ADAB=610=35（2）解：作AF⊥BE于点F∵BE⊥BC，AD⊥BC∴四边形ADBF是矩形∴AF=BD=8，AD=BF=6∴EF=10－6=4在Rt△AEF中，根据勾股定理可得AB=AF2+EF2=45【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，根据tanC=ADCD可求得CD的值，再根据线段的构成BD=BC-CD可求得BD的值；在Rt△ADC中，由勾股定理可求得AB的值，再根据sin∠ABD=ADAB可求解；（2）作AF⊥BE于点F， 由矩形的判定易得四边形ADBF是矩形 ，根据矩形的性质可得AF=BD，AD=BF，在Rt△AEF中，根据勾股定理可求得AB的值.19.【答案】（1）证明：如图所示：∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠AED=∠B，∴∠ADE=∠C，在△ADF和△ACG中，{AD:AC=DF:CG∠ADE=∠C ∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAG，∴AG平分∠BAC（2）证明：在△AEF和△ABG中，{∠AED=∠B∠EAF=∠BAG，∴△AEF∽△ABG，∴EFBG=AFAG，在△ADF和△AGC中，{∠DAF=∠CAG∠ADF=∠C，∴△ADF∽△AGC，
∴DFCG=AFAG，∴EFBG=DFCG，∴EF⋅CG=DF⋅BG．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定可得三角形相似，再得到对应角相等，即可证明AG平分 ∠BAC；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可。20.【答案】（1）如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到，∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，AF=AF∴△ACF≌△ADF(HL)，∴∠AFC=∠AFD，FA平分∠CFE；（2）结论：2DM+3AD=DE，理由如下：如图2中，延长AD交BC于F，连接CD，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∠CAF＝60°，∴∠AFC＝30°，∴AD＝AC＝12AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AB的中点，∴DM＝12FB，即FB=2DM在Rt△AFC中，FC＝3AC=3AD，∵ DE=CB=FB+FC，∴FB+FC=2DM+3AD∴2DM+3AD=DE．【考点】直角三角形全等的判定（HL），旋转的性质，三角形的综合【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD交BC于F，连接CD；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE解转化到CB决问题即可．21.【答案】（1）解：y是x的一次函数，设y=kx+b，∵图象过点（10，300），（12，240），
∴{10k+b=30012k+b=240，解得{k=-30b=600．∴y=－30x＋600．当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，∴点（14，180），（16，120）均在函数y=－30x+600图象上．∴y与x之间的函数关系式为y=－30x+600．（2）解：∵w=（x－6）（－30x＋600）=－30x2＋780x－3600，∴w与x之间的函数关系式为w=－30x2＋780x－3600．（3）解：由题意得：6（－30x+600）≤900，解得x≥15．w=－30x2＋780x－3600图象对称轴为：x=-7802×(-30)=13．∵a=－30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小．∴当x=15时，w最大=1350．∴以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同．（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量．（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．22.【答案】（1）解：∵C(0,-2)，∴OC=2，∵在Rt△BOC中，tan∠ABC=OCOB=2OB=12，∴OB=4，即B(4,0)，将点B(4,0),C(0,-2)代入抛物线的解析式得：{16a-6+c=0c=-2，解得{a=12c=-2，则此抛物线的解析式为y=12x2-32x-2；（2）解：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，将点B(4,0),C(0,-2)代入得：{4k+b=0b=-2，解得{k=12b=-2，则直线BC的函数解析式为y=12x-2，当x=1时，y=12×1-2=-32，即D(1,-32)，则CD=(1-0)2+(-32+2)2=52，要使△PCD的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，设与直线BC平行的直线l'的函数解析式为y=12x+d，则F(0,d),CF=-2-d，如图，过点C作CE⊥l'于点E，则CE为直线BC与直线l'间的距离，
在Rt△BOC中，OB=4,BC=OB2+OC2=25，则sin∠OCB=OBBC=255，∵BC//l'，∴∠CFE=∠OCB，∴sin∠CFE=sin∠OCB=255，在Rt△CEF中，sin∠CFE=CECF=CE-2-d=255，解得CE=255(-2-d)，∴d越小，CE越大，当直线l'要与抛物线y=12x2-32x-2有交点，即当直线l'与y=12x2-32x-2有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点P，联立{y=12x2-32x-2y=12x+d，整理得：12x2-2x-2-d=0，则其根的判别式Δ=4-4×12(-2-d)=0，解得d=-4，则此时CE=255×(-2+4)=455，△PCD面积的最大值为12×52×455=1，将d=-4代入12x2-2x-2-d=0得：x1=x2=2，当x=2时，y=12×22-32×2-2=-3，∴△PCD面积取得最大值时，点P的坐标为(2,-3)；（3）解：对于y=12x2-32x-2，当y=0时，12x2-32x-2=0，解得x=-1,x=4，∴A(-1,0)，∵B(4,0),C(0,-2)，∴AB=4+1=5,AC=12+22=5,BC=22+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，设点P的坐标为(m,12m2-32m-2)，∵PE⊥BC，直线BC的函数解析式为y=12x-2，∴设直线PE的函数解析式为y=-2x+n，将(m,12m2-32m-2)代入得：-2m+n=12m2-32m-2，解得n=12m2+12m-2，则直线PE的函数解析式为y=-2x+12m2+12m-2，联立{y=-2x+12m2+12m-2y=12x-2，解得{x=15m2+15my=110m2+110m-2，即E(15m2+15m,110m2+110m-2)，∴PE2=(15m2-45m)2+(25m2+85m)2，DE2=(15m2+15m-1)2+(110m2+110m-12)2，由题意，分以下两种情况：①当Rt△PDE∼Rt△ABC时，则PEDE=ACBC=525=12，即DE2=4PE2，解得m=3+132或m=17-2296，
则此时P(3+132,132)或P(17-2296,17-1022918)；②当Rt△DPE∼Rt△ABC时，则PEDE=BCAC=255=2，即PE2=4DE2，解得m=52，则此时P(52,-218)；综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为P(3+132,132)或P(17-2296,17-1022918)或P(52,-218).【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）在Rt△BOC中，根据tan∠ABC=OCOB可求得OB的值，将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可得关于a、c的方程组，解之可求解；（2）由题意可用待定系数法求得直线BC的解析式，由题意把x=1代入直线BC的解析式可求得点D的坐标；由勾股定理可求得CD的值；要使△PCD的面积最大，则需要点P到CD的距离最大；设与直线BC平行的直线 l' 的函数解析式为y=12x+d，则F（0，d）,于是CF可用含d的代数式表示出来，如图，过点C作 CE⊥l' 于点E，则CE为直线BC与直线 l' 间的距离，解直角三角形BOC和直角三角形CEF可将CE用含d的代数式表示出来，由一次函数的性质可知：d越小，CE越大，当直线l与抛物线有交点即当直线l与抛物线有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点P，把直线l和抛物线的解析式联立解方程组整理可得关于x的一元二次方程，根据两个图像只有一个交点可得这个一元二次方程的b2-4ac=0，则可得关于d的方程，解之可求得d的值，则结论可求解；（3）由题意先求得抛物线与x轴的交点A的坐标，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，设点P的横坐标为m，根据点P在抛物线上，点P的纵坐标可用含m的代数式表示出来，根据PE⊥BC可知直线PE的k值与直线BC的k值互为负倒数，于是直线PE可用含n的代数式表示，把点P的坐标代入直线PE的解析式可得关于m、n的方程，则n可用含m的代数式表示，于是直线PE的解析式可用含m的代数式表示，把直线PE和直线BC的解析式联立解方程组可得点E的坐标，用勾股定理可将PE2和DE2用含m的代数式表示，由题意分两种情况讨论求解：①当Rt△PDE∽Rt△ABC时，可得比例式PEDE=ACBC求解；②当Rt△DPE∽Rt△ABC时，可得比例式PEDE=BCAC求解.23.【答案】（1）解：证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，
∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴ACAH=AFAB，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴BD＝CD，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝AQAD，∴AD＝AQcosα，∴AB+ACAD＝2AQAQcosα＝2cosα．【考点】全等三角形的性质，垂径定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得BD＝CD，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得ACAH=AFAB，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝AQcosα，即可求解．
