2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.双曲线＝的焦点坐标是（）A.B.C.D.2.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（）A.B.C.D.3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底长为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A.B.C.D.4.设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列四个命题：①②③④t其中为真命题的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为、、，则它的外接球的表面积是（）A.B.C.D.6.已知抛物线＝的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则＝（）A.B.C.D.7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①；②与所成的角为；③与是异面直线；④．其中正确的个数为（）个试卷第1页，总9页,A.B.C.D.8.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.9.已知、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交渐近线于点（在第一象限），交双曲线左支于，若是线段的中点，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.10.如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，是棱的中点，是棱上的动点．设＝，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是（）A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）)11.双曲线的渐近线方程为________，设双曲线经过点，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为________．12.若一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则此圆柱的体积是________；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．13.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为________，体积为________．试卷第2页，总9页,14.方程＝表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为________，面积为________．15.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．16.如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且＝＝，过点作平面，交，分别于，，当三棱锥体积最大时，tan＝________．17.已知椭圆，直线＝与椭圆Γ交于，两点，以线段为直径的圆经过原点．若椭圆Γ的离心率不大于，则的取值范围为________．三、解答题（共5小题，满分74分）)18.如图，已知三棱锥，平面平面，，＝．（1）证明：；（2）设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．19.过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于，试卷第3页，总9页,两点，线段的长度为（1）求椭圆的方程；（2）直线经过定点，且与椭圆交于，两点，为原点，求三角形面积的最大值．20.已知抛物线䁕，过点．求抛物线的方程；如图，直线与抛物线交于，两个不同点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，且，求证直线过定点，并求出定点．21.如图，四棱锥中，，，＝＝＝，是等边三角形，，分别为，的中点．Ⅰ求证：平面；Ⅱ若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值．22.已知椭圆的短轴长为，右焦点与抛物线＝的焦点重合，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设、是椭圆上的不同两点，点，且满足，若，求直线的斜率的取值范围．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.A10.D二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.,12.,13.,14.,15.16.17.三、解答题（共5小题，满分74分）18.证明：∵＝＝，＝，∴＝，∴＝，∴，又∵平面平面，∴平面，∴．设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，∵在中，＝，＝，＝，∴cos，∴sin，∴，∵＝，，sin，∴，∵，∴sin．试卷第5页，总9页,∴直线与平面所成角的正弦值为．19.由题意得，，∴＝，＝，∴．设，，直线的方程：＝，，得＝，∴＝，∴，，，，，令，，（当且仅当＝时，即取等号．）∴的最大值为．20.解：抛物线䁕，过点，可得䁕，即䁕，可得抛物线的方程为.设，，直线的方程为，联立可得，且，，，又，，同理，试卷第6页，总9页,则，化简得，则的方程为，即，令，则，可得直线恒过定点．21.（1）证明：取中点，连接，，如图，∵、分别为、的中点．∴，又∵平面，平面，∴平面，同理平面，∵＝，，平面∴平面平面，又∵平面，∴面．（2）如图，取中点，连接，，∵是等边三角形，∴，∵，，∴，又∵平面，平面，∴是二面角平面角，∵二面角的大小为，∴，∵＝＝＝，∴，＝＝，，∵是等边三角形，∴，∵、分别为与中点，∴，∴＝，∴为等边三角形，∵，，＝，、平面，∴平面，∵平面，试卷第7页，总9页,∴平面平面，∴作，由面面垂直的性质定理得，平面，∴即为直线与平面所成角，∵、分别为、中点，∴，在等边三角中，，所以tan，所以直线与平面所成角的正切值为．22.由已知，＝，＝，所以椭圆的方程，，，三点共线，，且直的斜率一定存在，所以的方程＝，与椭圆的方联立得＝试卷第8页，总9页,，．，，，①又得：＝，＝②．将②式代入①式，消去得：当，时，是减函数∴，解得∴直线的斜率的取值范围是试卷第9页，总9页
