2019-2020学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．)1.若集合＝′㔱′，且＝，则集合可能是（）A.香䁞B.′㔱′香C.香香䁞䁞香D.2.函数ᦙ′＝ln′′香的零点所在的一个区间是（）A.ᦙ䁞香B.ᦙ香䁞C.ᦙ䁞D.ᦙ䁞3.已知定义在上的奇函数ᦙ′的图象与′轴交点的横坐标分别为′香，′，′，……，′，且′′′……′＝，则不等式′香ᦙ′香香的解集为香⸲香香⸲（）香A.香䁞香B.䁞C.ᦙ香䁞D.4.函数ᦙ′＝logᦙ香香′的图象为（）A.B.C.D.5.已知幂函数ᦙ′＝ᦙ香香െ′ᦙ在ᦙ䁞上单调递减，若＝香香香香香ᦙ，＝ᦙ，＝ᦙ，则下列不等关系正确的是（）A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏6.下列函数中，是偶函数且在区间ᦙ䁞上单调递增的是（）㔱′㔱香A.＝′㔱′㔱B.′C.＝D.ln㔱′㔱7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为香，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为香，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg晦）A.香B.香െC.香D.香⸲试卷第1页，总7页,8.已知ᦙ′＝㔱ln′㔱，设൏൏，且ᦙ＝ᦙ，则的取值范围是（）A.䁞B.ᦙ䁞C.䁞D.ᦙ䁞9.已知函数ᦙ′＝′香香′，ᦙ′＝′香′，则以下结论正确的是（）ᦙ′香香ᦙ′A.任意的′香，′且′香′，都有൏′香香′ᦙ′香香ᦙ′B.任意的′香，′且′香′，都有൏′香香′C.ᦙ′有最小值，无最大值D.ᦙ′有最小值，无最大值10.已知ᦙ′，ᦙ′都是偶函数，且在䁞上单调递增．设ᦙ′＝ᦙ′ᦙ香香′香㔱ᦙ′香ᦙ香香′㔱，若ᦙ，则（）A.ᦙ香ᦙ且ᦙ香ᦙ香香B.ᦙ香ᦙ且ᦙ香ᦙ香香C.ᦙ香ᦙ且ᦙ香ᦙ香香D.ᦙ香ᦙ且ᦙ香ᦙ香香二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)香11.计算：ᦙ香香香________；香_香log⸲香＝________．香12.函数ᦙ′′香的定义域为________，值域为________．13.若ᦙ，香，则函数ᦙ′ൌ_ᦙ′香的图象恒过定点________；当ᦙ香时，函数ᦙ′的单调递减区间是ᦙ香䁞14.已知函数ᦙ′＝′㔱′香香㔱香，′有三个零点′香，′，′，则实数的取值范香香围是________）；′香′′的取值范围是________）．15.已知函数ᦙ′是定义在上的奇函数，当′时ᦙ′＝′，对任意的′香香䁞香，恒有ᦙ′ᦙ′，则实数的最大值为________香．16.对于定义在上的函数ᦙ′，如果存在实数，使得ᦙ′ᦙ香′＝香对任意实数′恒成立，则称ᦙ′为关于的“函数”．已知定义在上的函数ᦙ′是关于和香的“函数”，且当′䁞香时，ᦙ′的取值范围为香䁞，则当′香䁞时，ᦙ′的取值范围为________．ᦙ′香香⸲ᦙ′香香17.已知′，满足，若对任意的ᦙ，ᦙ香香⸲ᦙ香香香′恒成立，则实数的最小值为________．试卷第2页，总7页,三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.设全集＝，集合＝′㔱香′൏，＝′㔱′െ′（1）若＝香香，求，；（2）若＝，求实数的取值范围．19.某民营企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图香，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（注：利润与投资单位是万元）ᦙ香分别将，两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；ᦙ该企业已筹集到香万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这香万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到香万元）．香香′20.设ᦙ′lg，′′（1）求函数的定义域；（2）判断ᦙ′的单调性，并根据函数单调性的定义证明；香香（3）解关于′的不等式′ᦙ香′香lgᦙ．21.设函数ᦙ′＝′香′香ᦙ，ᦙ′lnᦙ′香香′．ᦙⅠ若函数ᦙ′有零点，求实数的取值范围；ᦙⅡ判断函数ᦙ′的奇偶性，并说明理由；ᦙⅢ若存在不相等的实数，同时满足方程ᦙᦙ＝和ᦙᦙ＝，求实数的取值范围．22.设函数ᦙ′＝′ᦙ′香㔱′香㔱．ᦙⅠ若函数ᦙ′在香䁞香上不单调，求实数的取值范围；ᦙⅡ求函数ᦙ′在香香䁞香的最小值．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.B3.A4.A5.B6.C7.D8.B9.D10.C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.,12.ᦙ香䁞ᦙ䁞,ᦙ䁞香ᦙ香䁞13.ᦙ䁞14.ᦙ，,ᦙ，香15.香香16.䁞17.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.若＝香香，则＝′㔱ᦙ′香ᦙ′香＝′㔱′，∴＝′㔱′，又＝′㔱′൏香或′，∴＝；若＝，则，当＝时，＝，不满足题意；当൏时，＝′㔱香′香，香香香则，解得香൏香，满足题意；香൏当ᦙ时，＝′㔱香′香，香香香则，解得香൏香，不满足条件；香൏香综上，实数的取值范围是香൏香．19.解：ᦙ香投资为′万元，产品的利润为ᦙ′万元，产品的利润为ᦙ′万元，由题设ᦙ′香′，ᦙ′′，ᦙ香䁞；′.试卷第4页，总7页,香香由图知ᦙ香，∴香.െെ又ᦙ，∴.香െ从而ᦙ′′，ᦙ′′ᦙ′.ᦙ设产品投入′万元，则产品投入香香′万元，设企业的利润为万元，香െᦙ′ᦙ香香′′香香′，ᦙ′香，令香香′，香香െ香െെ∴香ᦙ香ᦙ香.香െ当，max，此时′晦െ.∴当产品投入晦െ万元，产品投入晦െ万元时，企业获得最大利润约为万元．20.由题意得：′香′，解得：香൏′൏，ᦙ′故函数的定义域是ᦙ香䁞；令香൏′香൏′൏，则ᦙ′香香ᦙ′香香′香香香′lg香香lg′香′香′′′香′香ᦙ′香′香香′香′lg，ᦙ′香ᦙ′香ᦙ′香′香香′香′由香൏′香൏′൏，得′香′香ᦙ，′香ᦙ，′ᦙ，而ᦙ′香′香香′香′香ᦙ′香′香′香′ᦙ，ᦙ′香′香香′香′故ᦙ香，香ᦙ′香′香香′香′ᦙ′香′香香′香′故lgᦙ，香ᦙ′香′香香′香′故ᦙ′香香ᦙ′ᦙ，故ᦙ′是减函数；香香′ᦙ香′香lgᦙ，香香即（′ᦙ香′）ᦙ香lg＝ᦙ香，由ᦙ′在ᦙ香䁞递减，香香൏′ᦙ香′൏则，香′ᦙ香′൏香解得：香香൏′൏香或൏′൏，故不等式的解集是ᦙ香香䁞香ᦙ䁞．21.（1）由题知ᦙ′＝ᦙ′香′，令＝′ᦙᦙ，则有ᦙ＝香，试卷第5页，总7页,因为函数ᦙ′有零点，所以香＝有解，所以ᦙ，则的取值范围为ᦙ䁞；（2）因为ᦙ′ᦙ香′＝lnᦙ′香香′lnᦙ′香′＝lnᦙ′香香′ᦙ′香′＝ln香＝，所以ᦙ′为奇函数；ᦙⅢ因为ᦙ′为奇函数，又因为ᦙᦙ＝，所以＝香，则ᦙᦙ＝ᦙᦙ香＝，即香香香香香香＝，香香ᦙ香香香香则香，香香香ᦙ香ᦙ香香令＝香，，香香香所以ᦙ香，则ᦙᦙ，所以ᦙ在䁞单调递增，香香故香，香综上实数的取值范围为䁞．′香′䁞′22.（1）由题意，ᦙ′，′′香䁞′൏则二次函数香ᦙ′′香′ᦙ′对称轴为′，ᦙ′′′香ᦙ′൏对称轴为′香，则当ᦙ时，若函数ᦙ′在香䁞香上不单调，则对称轴′香在香䁞香之间，即香൏香൏香，解得香൏൏，故此时൏൏，′䁞′当＝时，ᦙ′′′㔱′㔱满足题意，′䁞′൏当൏时，若函数ᦙ′在香䁞香上不单调，则对称轴′在香䁞香之间，即香൏൏香，解得香൏൏，故此时香൏൏，综上所述，若ᦙ′在香䁞香上不单调，则实数的取值范围为香൏൏；′香′䁞′（2）由ᦙⅠ可知ᦙ′，ᦙ＝，′′香䁞′൏二次函数香ᦙ′′香′ᦙ′对称轴为′，ᦙ′′′香ᦙ′൏对称轴为′香，ᦙ㘠当൏时，香①当香香，即香时，函数ᦙ′在香香䁞香上单调递增，此时ᦙ′ᦙ香香，min香②当香香൏൏，即香൏൏时，函数ᦙ′在香ᦙ′的对称轴′处取得最小值，െ此时ᦙ′min香ᦙ香；试卷第6页，总7页,ᦙ㘠㘠当时，①当香香香，即时，函数ᦙ′在香香䁞香上单调递增，此时ᦙ′ᦙ香香香香香，min②当香香൏香，即൏时，函数ᦙ′在ᦙ′的对称轴′香处取得最小值，香此时ᦙ′minᦙ香香；䁞香െ䁞香൏൏综上所述，ᦙ′min香．香䁞൏香香香䁞试卷第7页，总7页
