2014-2015学年上海市闸北区高二（上）期末数学试卷一、填空题（每题5分，共8小题，总计40分）)1.limn→∞[2+n21+n2+(12)n]的值是________．2.设数列{cn}的首项c1=1且前n项和为Sn．已知向量an→=(cn, 2)，bn→=(cn+1, 1)满足an→ // bn→，则limn→∞Sn=________．3.在边长为1的正方形ABCD中，若E是CD的中点，则AD→⋅BE→=________．4.若圆(x-1)2+y2=4与直线x+y+1=0相交于A，B两点，则弦|AB|的长为________．5.某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是________．6.设F1，F2分别是椭圆x29+y24=1的左、右焦点．若点P在椭圆上，且|PF1→+PF2→|=25，则向量PF1→与向量PF2→的夹角的大小为________．7.已知A(2, 1)，B(2, -1)，O为坐标原点，动点P(x, y)满足OP→=mOA→+nOB→，其中m、n∈R，且m2+n2=12，则动点P的轨迹方程是________．8.在研究关于曲线C:x416-y2=1的性质过程中，有同学得到了如下结论①曲线C关于原点、x，y轴对称 ②曲线C的渐近线为y=±x2 ③曲线C的两个顶点分别为(-2, 0)，(2, 0)④曲线C上的点到原点的最近距离为2．上述判断正确的编号为________．二、解答题（每题15分，共4题，总计60分）)9.依次计算a1=2×(1-14)，a2=2×(1-14)(1-19)，a3=2×(1-14)(1-19)(1-116)，a4=2×(1-14)(1-19)(1-116)(1-125)，猜想an=2×(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1(n+1)2)结果并用数学归纳法证明你的结论．10.三条直线l1:2x-y-10=0，l2:4x+3y-10=0，l3:ax+2y-8=0（1）求l1与l2的夹角大小．（用反三角函数表示）（2）若三条直线l1，l2，l3不能围成一个三角形，求a的所有可能值．11.已知两点A(-2, 0)，B(2, 0)，动点P在x轴上的射影为H，且PA→⋅PB→=λ⋅|PH→|2，其中λ≥0（1）求动点P(x, y)的轨迹C的方程并讨论C的轨迹形状（2）过点A(-2, 0)且斜率为1的直线交曲线C于M，N两点，若MN中点横坐标为-23．求实数λ？试卷第3页，总4页
12.双曲线C的方程为x24-y2=1，其渐近线为l1，l2（1）设P(x0, y0)为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若OA→⋅OB→=203，求直线l的方程．试卷第3页，总4页
参考答案与试题解析2014-2015学年上海市闸北区高二（上）期末数学试卷一、填空题（每题5分，共8小题，总计40分）1.12.23.14.225.3.84米6.90∘7.x24+y2=18.①③④二、解答题（每题15分，共4题，总计60分）9.解：a1=2×(1-14)=32，a2=2×(1-14)(1-19)=43，a3=2×(1-14)(1-19)(1-116)=54，a4=2×(1-14)(1-19)(1-116)(1-125)=65，猜想：an=n+2n+1证明：(1)当n=1时，显然成立；(2)假设当n=k(k∈N+)命题成立，即ak=k+2k+1则当n=k+1时，ak+1=ak•[1-1(k+2)2]=k+3k+2∴命题成立由(1)(2)可知，an=n+2n+1对n∈N+成立．10.解：（1）设l1与l2的夹角为θ，∵l1:2x-y-10=0，l2:4x+3y-10=0，∴两直线的斜率分别为2和-43，∴由夹角公式可得tanθ=|2-(-43)1+2×(-43)|=2，∴l1与l2的夹角为arctan2；（2）当l1与l3的平行（或重合）时可得-a-2×2=0，解得a=-4；当l2与l3的平行（或重合）时可得3a-4×2=0，解得a=83；当l1与l2与l3三线共点时，联立2x-y-10=04x+3y-10=0可解得x=4y=-2，代入l3的方程可得4a-4-8=0，解得a=3，综上可得：a=-4或a=83或a=3试卷第3页，总4页
11.解：（1）设P(x, y)，∵两点A(-2, 0)，B(2, 0)，动点P在x轴上的射影为H，且PA→⋅PB→=λ⋅|PH→|2，其中λ≥0，∴(-2-x, -y)⋅(2-x, -y)=λ⋅y2，整理，得x2+y2-4=λy2，即x2+(1-λ)y2=4．①λ=0时，轨迹C是圆；②0<λ<1，轨迹C是椭圆，③λ=1，轨迹C是两条平行直线；④λ>1，轨迹C是双曲线．（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，过点A(-2, 0)且斜率为1的直线为：y=x+2，联立y=x+2x2+(1-λ)y2=4，得(2-λ)x2+4(1-λ)x-4λ=0，∵直线交曲线C于M，N两点，∴△>0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=-4(1-λ)2-λ，x1x2=-4λ2-λ，∵MN中点横坐标为-23，∴x1+x22=-2(1-λ)2-λ=-23，解得λ=12．12.解：（1）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，P(x0, y0)满足x24-y2=1，即x02-4y02=4，则d1d2=|x0-2y0|5⋅|x0+2y0|5=|x02-4y02|5=45，（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由y=x+mx2-4y2=4， 得3x2+8mx+4(m2+1)=0，则由判别式△>0，解得m2>0，则x1+x2=-8m3x1x2=4(m2+1)3，则OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+83=203，∴m2=4，解得m=±2，故直线方程为y=x+2或y=x-2试卷第3页，总4页
