西安市第一中学2021-2022学年度第一学期期中考试高三数学试题（文）一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于( )A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2.i是虚数单位，计算等于( )A．－2iB．0C．2iD．23.函数的定义域为（）A.B.C.D.4.同时掷两个骰子，则向上点数不相同的概率为（）A.B.C.D.5.设θ∈R，则“0<θ<”是“sinθ＋cos2θ>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6.已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，，，则a，b，c大小关系为（）A.B.C.D.7.若点G是的重心，则( )
A.0B.C.D.8.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A.－1B.－2e－3C.5e－3D.19.已知＝5，则cos2α＋sin2α＝( )A.B.－C.－3D.310.函数f(x)＝cosx－sinx在[0，]上的单调递减区间是( )A.B.C.D.11.在上的极小值为（）A.B.C.D.12.已知函数lnx+1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是()
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)13.在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为__________.14.已知曲线，则曲线在点处的切线方程为__________________.15.在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.16.函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且（1）求角A的大小；（2）若，的面积，求的周长.18.（12分）已知函数(1)求的最小正周期；(2)求的单调递增区间．19.（12分）
为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶月份月份编号竞拍人数（万人）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年月份参与竞拍的人数.参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，.20.（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求的值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.21.（12分）已知函数.（1）若在上为单调函数，求实数的取值范围：
（2）记的两个极值点为，求证：选做题（22、23题中任选一题）22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.西安市第一中学2021-2022学年度第一学期期中考试高三数学答案（文）一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)1.答案 C2.答案 B3.答案D4.答案D5.答案 A6.答案D7.答案 B8.答案 A9.答案A10.答案C11.答案D
12.答案C二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)13.矩形14.15.216. 三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）解：（1）由已知得（2）由已知及余弦定理得，周长为18.（12分）解 (1)f(x)＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，函数y＝2sinz在z∈，k∈Z上是增加的．由－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.f(x)的单调递增区间是．19.（12分）解：（1）易知，，，，则关于的线性回归方程为
当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人．20.（12分）解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，由题意知解得∴a＝1，b＝3e.（2）g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．21.（12分）解：（1）的定义域为，.因为单调，所以对恒成立，所以，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以；（2）由（1）知，是的两个根.从而>0，，且,所以.故>2，而，所以选做题（22、23题中任选一题）22.（10分）解 (1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝，得其直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程(t为参数)，代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sinα－cosα)－3＝0(*)，设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－.∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为＝－＝0，∴sinα－cosα＝0，即α＝.则(*)变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，∴|AB|＝2.23.（10分）解 (1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.又因为对任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，所以只需2m2－7m≤－3，即2m2－7m＋3≤0，解得≤m≤3，故m的取值范围为.(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是(－1，1)∪{－2}.
