西安市第一中学2022-2022学年度第一学期期中高三数学(文科)试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于( )A．U B．{1,3,5}C．{2,4,6}D．{3,5,6}2．－870°角的终边在第几象限( )A．一 B．二 C．三 D．四3．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为( )A．e1－3e2B．－2e1－4e2C．3e2－e1D．3e1－e25．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )A．64 B．49C．16D．15 7．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝08．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是( )A．8B．7C．4D．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于( )A．30° B．60°C．120°D．150°10．如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O9\n在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )A.B.C.D.11.椭圆M:左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围为（）A.B.C.D.12.已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（其中为虚数单位），则是______________．14．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是______________．15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________.16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；9\n(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．20．(本小题满分12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．21．（本小题满分12分）设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22.(选修4—1几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠，分别与AE、BE交于点.求证：(1)；（2）23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲)（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．9\n24.(选修4—5不等式选讲)（本小题满分10分）设函数（1）求不等式的解集；（2）若的定义域为R,求实数的取值范围.西安市第一中学2022-2022学年度第一学期期中高三数学(文科)答案一、选择题：DCBAADCBACBB二、填空题13.14.815. 16.(0,1)三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)的最小正周期为π.x0＝，y0＝3.---------------------------------------------------------6(2)因为x∈[－，－]，所以2x＋∈[－，0]．于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.-----------------------1218．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.9\n(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解] (1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.------------------------------------------------------------------6(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.---------------------------12 19．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．(1)[证明] 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.--------------------------------------------------------------------4(2)[证明] 取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.9\n因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE，C1F⃘平面ABE，所以C1F∥平面ABE.-----------------------------------------------------------------8(3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.----------------------------------------------1220．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．[解] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.----------------------------------------------------------------------6(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②∴＝，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．--------------------------------------------------129\n21．（本小题满分14分）设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．【解析】：(1)当时,在上单调递增.---------------------------------------------------------6（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过-kkk（i）当，即时，，在上单调递增，从而当时，取得最小值,当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)的最小值,9\n的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值------------12解法2（2）当时，对，都有，故故，而，所以，做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．A.选修4－1：几何证明选讲 如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，，为切点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.解：(I)连接是圆的两条切线，，,又为圆的直径，，,,即得证，(II),,△∽△，。B.选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；9\n（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.解：（I）圆的参数方程为（为参数）所以普通方程为圆的极坐标方程：（II）点到直线：的距离为△的面积所以△面积的最大值为C．选修4-5：不等式选讲已知函数（I）若，解不等式；（II）如果，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，由得当时，不等式可化为即，其解集为当时，不等式化为，不可能成立，其解集为；当时，不等式化为，其解集为综上所述，的解集为（Ⅱ），∴要成立，则，，即的取值范围是。9
