2020-2021学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx

2020-2021学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.使代数式a+2a-1有意义，则a的取值范围为(    )A.a≥-2且a≠1B.a≠1C.a≥-2D.a>-22.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )A.12ab+aB.a2-2ab+b2C.(a+b)(a-b)-2abD.-ab2-ab223.若分式x2+2x-3x-1的值为0，则x的值为(    )A.x=-3B.x=-3或x=1C.x=3D.x=3或x=14.下列计算正确的是(    )A.(-1)0=-1B.(-1)-1=1C.2a-3=12a3D.(-a)7÷(-a)3=a45.MERS属于冠状病毒，病毒粒子成球形，直径约为140纳米(1纳米=0.000000001米)，用科学记数法表示为(    )A.1.4×1011米B.140×109米C.1.4×10-11米D.1.4×10-7米6.下列分解因式正确的是(    )A.x3-x=x(x2-1)B.m2+m-7=(m+3)(m-2)-1C.(a+4)(a-4)=a2-16D.x2-y2=(x+y)(x-y)7.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3，则n等于(    )A.4B.6C.8D.128.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是(    )(1)AD上任意一点到C、B的距离相等；(2)AD上任意一点到AB、AC的距离相等；(3)BD=CD，AD⊥BC；(4)∠BDE=∠CDF．,A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，AE//BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB度数为(    )A.70°B.55°C.40°D.35°10.图1是边长为4的正方形硬纸片ABCD，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图1的虚线剪开并拼成图2的“小屋”，则图中阴影部分的面积(    )A.2B.4C.8D.10二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知x2-y2=8，且x+y=4，则x-y=______．12.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=______．13.有三种不同类型的地砖长度如图所示，若现有A型正方形地砖10块，B型长方形6块，C型正方形1块，要拼成一个大正方形，则应多出1块______型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数的平方的几何意义，用式子表示为______．14.如图，点D、E在△ABC上的边AC上，BA=BC，AD=CE，∠A=∠C，BF⊥AC于F，则图中的全等三角形共有______对．15.已知一元二次方程x2-7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为______．16.如图，AB//CD，点E在线段AC上，AB=AE.若∠ACD=38°，则∠1的度数为______．,17.如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，则∠BAC'等于______．18.如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图③、④，…，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则周长Pn=______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）19.化简：(1)(2x-y)2-(x-y)(4x-y)(2)a2+2aa+3÷(a-1-2a-1a+3)四、解答题（本大题共9小题，共49.0分）20.(1)计算：2sin60∘+(2013-π)0+|3-2|；(2)解方程：22x-1+51-2x=1．21.已知，如图：四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．(1)求证：△AED是等腰三角形；,(2)当∠B=∠C=∠AED=90°时，求证：AB2+BE2=AE2．22.已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；(2)△ABC的面积是______；(3)△ABC中BC边上高的长度是______．23.(1)计算：-12-22+2-1×6+(5-1)0+cos45°．(2)解方程：22x-1+51-2x=1．24.(1)计算：27-4sin60°-(3-1)0+|-2|；(2)先化简，再求值：(x2-y2)÷x-yxy，其中x=-2，y=12．25.某人计划在一定日期内加工1000个零售件，实际加工时，每天比原计划多加工25个，结果提前2天完成任务，问这个人实际加工的天数是多少？26.如图，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，AD=BC，AE=CF,(1)图中共有几对全等三角形？请分别写出来；(2)选择其中一对全等的三角形加以证明．27.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA=OB=OC=OD=22AB．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1=s2.当AB=2时，求AH的长．28.(1)如图1，等边△OAB的边OA在x轴上，点B位于第一象限．①等边△OAB的对称轴有______条；②将图1的等边△OAB沿边AB所在直线翻折得到△ABD，如图2所示，若OA=4，求点D的坐标．(2)如图3，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，点F在OA上，且AF=2OF，点E为OC的中点，连接EF，将△OEF沿边EF折叠得到△EFD，连接BD、BE，若A(0,6)，C(8,0)，求△BDE的面积．,参考答案及解析1.答案：A解析：解：由题意得a+2≥0且a-1≠0，解得a≥-2且a≠1，故选：A．根据二次根式及分式有意义的条件可求解a的取值范围．本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．2.答案：C解析：解：12ab+a=122ab+4，A不是最简二次根式；a2-2ab+b2=|a-b|，B不是最简二次根式；(a+b)(a-b)-2ab=a2-b2-2ab，C是最简二次根式；-ab2-ab22=0，D不是最简二次根式；故选：C．根据二次根式的性质化简，根据直角二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3.答案：A解析：解：由题意可知：x2+2x-3=0x-1≠0解得：x=-3；故选：A．根据分式的值为零的条件即可求出答案．本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．4.答案：D解析：解：A、错误，(-1)0=1；B、错误，(-1)-1=-1；C、错误，2a-3=2a3；D、正确．,故选：D．分别根据0指数幂、负整数指数幂及同底数幂的除法法则进行逐一计算即可．本题考查的知识点为：(1)0指数幂：任何非0数的0次幂等于1；(2)负整数指数幂：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数；(3)同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．5.答案：D解析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：140纳米=140×0.00 000 000 1米=0.00 000 014米=1.4×10-7米，故选：D．  6.答案：D解析：【试题解析】此题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用因式分解的定义及方法判断即可．解：A、原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，故错误；B、原式不能分解，故错误；C、原式不是因式分解，故错误；D、原式=(x+y)(x-y)，故正确，故选D．  7.答案：C解析：解：设外角为x°，则其内角为3x°，,则x+3x=180，解得：x=45，∵正n边形外角和为360°，∴n=360÷45=8故选：C．设外角为x°，则其内角为3x°，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．8.答案：D解析：解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，AD三线合一，∴AD上任意一点到C、B的距离相等；(垂直平分线的上任意一点到线段两端的距离相等)因此(1)正确．∵AB=AC，且AD平分顶角∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线；(等腰三角形三线合一)因此(2)(3)正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此(4)正确．故选D．根据等腰三角形三线合一的特点即可判断出(1)(2)(3)的结论是正确的．判断(4)是否正确时，可根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由此可判断出∠BDE和∠CDF的大小关系．此题主要考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质等知识点的综合运用能力．9.答案：C解析：解：∵∠ACD=110°，∴∠BCA=70°，,∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=70°，∵AE//BC，∴∠EAC=∠ACD=110°，∴∠EAC=110°-70°=40°．故选C．先利用邻补角的定义计算出∠BCA=70°，再利用AB=BC得到∠BAC=∠BCA=70°，然后根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACD=110°，最后计算∠EAC-∠BAC即可．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了平行线的性质．10.答案：B解析：解：∵阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，∴阴影部分面积为正方形面积的14，∵正方形ABCD的边长为4，∴正方形ABCD的面积为：42=16，∴图中阴影部分的面积为：14×16=4．故选：B．根据图形的变换可得：阴影部分面积为正方形面积的14，把相关数值代入计算即可求得答案．此题考查了剪纸问题．注意得到阴影部分面积与原正方形面积的关系是解决本题的突破点．11.答案：2解析：解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=8，且x+y=4，∴x-y=2．故答案为：2．已知第一个等式左边利用平方差公式变形，将x+y的值代入即可求出x-y的值．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．12.答案：2解析：解：∵x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，∴x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0，∴(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0，,∴x-1=0，y+2=0，z-3=0，∴x=1，y=-2，z=3，故x+y+z=1-2+3=2．故答案为：2．把14分成1+4+9，与剩余的项构成3个完全平方式，从而出现三个非负数的和等于0的情况，则每一个非负数等于0，解即可．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．13.答案：A (3m+n)2解析：解：10块A的面积为：10×m×m=10m2；6块B的面积为：6×m×n=6mn；1块C的面积为1×n×n=n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：10m2+6mn+n2=9m2+6mn+n2+m2=(3m+n)2+m2，因此，多出了一块A型地砖，这两个数的平方为(3m+n)2．故答案为：A；(3m+n)2．分别计算出10块A的面积和6块B的面积、1块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖．本题考查了完全平方公式的几何意义，立意较新颖，注意面积的不同求解是解题的关键，对此类问题要深入理解．14.答案：4解析：解：图中的全等三角形共有4对．∵AB=BC，AD=CE，∠A=∠C，∴△ADB≌△CEB；∴BD=BE，又BF⊥AC于F，BF=BF，∴Rt△BDF≌Rt△BEF，∴DF=EF；∵∠A=∠C，AB=BC，BF⊥AC，∴△BAF≌△BCF；,∵DF=EF，AD=EC，∴AE=DC，又∵AB=AC，BD=BE，∴△BAE≌△BCD，共4对．故答案为4．首先由SAS可证△ADB≌△CEB，得到BD=BE，由HL可证Rt△BDF≌Rt△BEF，由AAS可证△BAF≌△BCF，最后由SSS可得△BAE≌△BCD．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．15.答案：12解析：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．解：方程x2-7x+10=0，分解得：(x-2)(x-5)=0，解得：x=2或x=5，若2为底边，5为腰，此时△ABC周长为2+5+5=12；若2为腰，5为底，2+2<5，不能构成三角形，舍去，则△ABC周长为12．故答案为12．  16.答案：109°解析：解：∵AB//CD，∴∠A=∠ACD=38°，∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=180°-∠A2=71°，∴∠BEC=180°-∠AEB=180°-71°=109°，故答案为：109°．根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．,本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键．17.答案：105°解析：解：∵△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，∴∠CAC'=60°，又∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC'=∠BAC+∠CAC'=45°+60°=105°．故答案为：105°．由△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，根据旋转的性质得到∠CAC'=60°，而等腰直角△ABC中，∠B=90°，得∠BAC=45°，所以∠BAC'=∠BAC+∠CAC'．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质．18.答案：3-12n-1解析：解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+12=52=3-12，P3=1+1+14×3=114=3-14，P4=1+1+14×2+18×3=238=3-18，…Pn=3-12n-1，故答案为：3-12n-1．根据等边三角形的性质(三边相等)求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，然后即可得到规律．本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．19.答案：解：(1)原式=4x2-4xy+y2-(4x2-xy-4xy+y2)=4x2-4xy+y2-4x2+5xy-y2=xy(2)原式=a(a+2)a+3÷a2+2a-3-2a+1a+3=a(a+2)a+3×a+3a2-2,=a2+2aa2-2解析：(1)先按照完全平方公式和多项式乘法法则分别计算减号前后的部分，再将其结果合并同类项即可；(2)先对第一个分式的分子进行因式分解，同时对括号内的部分按照分式加减法进行通分运算，再按照分式乘除法的法则进行计算即可．本题考查了多项式的乘法及减法运算和分式的加减乘除混合运算，具有一定的综合性，难度中等．20.答案：解：(1)原式=2×32+1+2-3=3；(2)去分母得：2-5=2x-1，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的解．解析：(1)原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21.答案：(1)证明：∵∠B=∠C=∠AED，设∠B=∠C=∠AED=α∴∠1+∠2=180°-α，∠2+∠3=180°-α，∴∠1=∠3，在△ABE和△ECD中，∠1=∠3∠B=∠CAB=EC∴△ABE≌△ECD(AAS)∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．(2)解：∵∠B=90°，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2．解析：(1)求出∠1=∠3，根据AAS证△ABE≌△ECD，根据全等三角形的性质推出即可；(2)在Rt△ABE中，由勾股定理即可得出AB2+BE2=AE2．本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用．,22.答案：4 81313解析：解：(1)如图，△ABC即为所求．(2)S△ABC=3×4-12×1×2-12×2×3-12×2×4=4(3)设BC边上的高为h，∵BC=22+32=13，∴12×13×h=4，∴h=81313．(1)根据A，B，C的坐标作出图形即可．(2)利用分割法把三角形面积看成矩形截取周围三个三角形面积即可．(3)利用勾股定理求出BC，再利用三角形面积公式求解．本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．23.答案：解：(1)原式=-1-2+12×6+1+22=3-22(2)原方程变形为：22x-1-52x-1=1，在方程两边同时乘以2x-1，得2-5=2x-1，解得：x=-1．经检验，x=-1是原方程的根．∴原方程的根是：x=-1,解析：(1)先进行有理数的乘方，二次根式的化简，负整数指数幂的计算，零指数幂的计算和特殊角的三角函数值的计算，最后进行实数的加减和合并同类二次根式就可以了．(2)先将原方程变形为：22x-1-52x-1=1，然后经将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后通过检验就可以得出方程的解．24.答案：解：(1)27-4sin60°-(3-1)0+|-2|；=33-4×32-1+2=3+1；(2)(x2-y2)÷x-yxy=(x+y)(x-y)⋅xyx-y=xy(x+y)=x2y+xy2，当x=-2，y=12时，原式=(-2)2×12+(-2)×(12)2=112．解析：(1)先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值分别求出每一部分的值，再算加减即可；(2)先进行化简，再代入求出即可．本题考查了分式的混合运算和求值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解(2)的关键，能求出每一部分的值是解(1)的关键．25.答案：解：设这个人实际加工的天数为x天，则计划加工的天数为x+2天，由题意得，1000x-1000x+2=25，解得：x1=8，x2=-10，经检验，x1=8，x2=-10都是原分式方程的解，但天数不能为负数，故舍去x=-10，即x=8．答：这个人实际加工的天数为8天．解析：设这个人实际加工的天数为x天，则计划加工的天数为x+2天，根据实际加工时，每天比原计划多加工25个，据此列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．,26.答案：(1)解：图中共有3对全等三角形，分别是：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA，△CBE≌△ADF，(2)证明：∵DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴在Rt△CBE和Rt△ADF中，AD=BCAE=FC，∴Rt△CBE≌Rt△ADF(HL)．解析：(1)根据已知可以直接得出全等的三角形；(2)根据HL定理得出Rt△CBE≌Rt△ADF即可．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及HL定理的判定应用，根据已知得出Rt△CBE≌Rt△ADF是解题关键．27.答案：(1)证明：∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∵OA=OB=OC=OD=22AB，∴OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形；(2)解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，∴∠G=∠EFB=∠FBG=90°，∴四边形BGEF是矩形，∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，∴∠DHE=90°，DH=HE，∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90°，∴∠ADH=∠EHG，∵∠DAH=∠G=90°，∴△ADH≌△GHE(AAS)，∴AD=HG，AH=EG，,∵AB=AD，∴AB=HG，∴AH=BG，∴BG=EG，∴矩形BGEF是正方形，设AH=x，则BG=EG=x，∵s1=s2．∴x2=2(2-x)，解得：x=5-1(负值舍去)，∴AH=5-1．解析：(1)根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出AC=BD，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定理求出AC⊥BD，根据正方形的判定推出即可；(2)根据已知条件得到四边形BGEF是矩形，根据旋转的性质得到∠DHE=90°，DH=HE，根据全等三角形的性质得到AD=HG，AH=EG，推出矩形BGEF是正方形，设AH=x，则BG=EG=x，根据题意列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．28.答案：3解析：解：(1)①等边三角形有三条对称轴．故答案为3．②如图2中，延长DB交y轴于H．∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠AOB=60°，∵∠AOH=90°，∴∠BOH=30°，,∴BH=12OB=2，OH=3BH=23，∵△ABD是由△OAB翻折得到，∴OB=BD=AD=OA=4，∴四边形OADB是菱形，∴BD//OA，∵DH=BH+BD=2+4=6，∴D(6,23).(2)如图3中，连接OD交EF于J，过点D作DH⊥OC于H，设EH=x．∴A(0,6)，C(8,0)，∴OA=6，OC=8，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=6，∠BCO=90°，∴BC⊥OC，∵DH⊥OC，∴DH//BC，∴四边形DHCB是直角梯形，∵OE=EC=4，AF=2OF，∴AF=4，OF=2，∵△DEF是由△EOF翻折得到，∴DF=OF=2，EO=ED=4，∴EF垂直平分线段OD，即OJ=JD，∵∠EOF=90°，∴EF=OF2+OE2=22+42=25，∵S△EOF=12⋅OE⋅OF=12⋅EF⋅OJ，,∴OJ=2×425=455，∴OD=2OJ=855，∵DH2=OD2-OH2=DE2-EH2，∴(855)2-(4-x)2=42-x2，解得x=125，∴DH=42-(125)2=165，∴S△BDE=S直角梯形DHCB-S△DEH-S△BCE=12⋅(165+6)⋅(4+125)-12×125×165-12×4×6=685．(1)①根据轴对称图形的性质解答即可．②如图2中，延长DB交y轴于H.解直角三角形求出OH，DH即可．(2)如图3中，连接OD交EF于J，过点D作DH⊥OC于H，设EH=x.构建方程求出x，可得DH，EH，再根据S△BDE=S直角梯形DHCB-S△DEH-S△BCE，计算求解即可．本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．