2020-2021学年滨州市无棣县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.点P(2,-5)关于y轴的对称点的坐标是( )A.(-2,5)B.(2,5)C.(-5,2)D.(-2,-5)2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是( )A.3<AD<13B.1.5<AD<6.5C.2.5<AD<7.5D.10<AD<163.如图，在四边形AOBC中，若∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则下列结论正确的有( )(1)A、O、B、C四点共圆(2)AC=BC(3)cos∠1=a+b2c(4)S四边形AOBC=(a+b)⋅csin∠12A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列计算正确的是( )A.(a+2b)2=a2+4b2B.a8÷a2=a4C.(a3)2=a6D.a3⋅a2=a65.下列等式成立的是( )A.ba=b+1a+1B.2a+12b+1=abC.a2-1a+1=a-1D.ba+bc=2ba+c6.下列运算正确的是( )A.a6-a2=a4B.(a+b)2=a2+b2C.(2ab3)2=2a2b6D.3a⋅2a=6a27.世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为( )
A.1.2×10-7B.0.12×10-6C.12×10-8D.1.2×10-68.如图，已知点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且△ABE≌△CBF，则∠1+∠2的度数为( )A.45°B.90°C.180°D.无法确定9.下列事件为必然事件的是( )A. 打开电视机，正在播放新闻B. 任意画一个三角形，其内角和是180°C. 买一张电影票，座位号是奇数号D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上10.小王是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：凰，爱，我，数，学，凤.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )A.我爱学B.爱凤凰C.我爱凤凰D.凤凰数学11.小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg.设这种大米的原价是每千克x元，则根据题意所列的方程是( )A.100x+12020%x=50B.100x+120(1-20%)x=50C.10020%x+120x=50D.100(1-20%)x+120x=5012.如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△AEC，连接BE、DE、CD，若∠BAC=150°，则下列结论中不一定正确的是( )A.AD=DEB.AC=CDC.AB=BED.BD=CE二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
13.把多项式x2-4分解因式得：______．14.若分式|a|-22-a的值为0，则a=______．15.如图，AB//CD，∠D=75°，∠CAD：∠BAC=2：1，则∠CAD=______．16.如图，AB//CD，BC平分∠ECD交AB于点B，若∠EAB=60°，则∠BCD=______°.17.设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33-6-33的小数部分，则2b-1a=______．18.计算：(-2xy2)3÷x2y2=______．19.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为______cm．20.如图，四边形ABCD中，AB=BC=4，∠ABC=60°，∠ABD+∠BCD=180°，对角线AC、BD相交于点E，H为BD的中点．若CE=1，则CH长为______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）21.因式分解(每题5分)(1) (2)(3) (4)
22.(10分)某同学做一道数学题：已知两个多项式、，计算，他误将“”看成“”，求得的结果是，已知，求的正确答案．四、解答题（本大题共5小题，共54.0分）23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是高．求证：BD=CE．24.(1)先化简，再求值：2(a+3)(a-3)-a(a-6)+6，其中a=2-1．(2)解方程：xx+1+x-1x=2．25.计算：(π-2018)0+|-4|-3tan30°-(12)-1．26.烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元(其它成本不计).问：(1)苹果进价为每千克多少元？(2)乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．27.锐角△ABC中BC=2，以AB为边向外作等边△ABD，以AC为边向外作△ACE，其中AE=CE，∠AEC=120°，F为BC的中点，分别连接DF，EF．(1)如图1，△ABC为等边三角形，
①DF与EF的数量关系是______；DF与EF的位置关系是______；②求DF的长度；(2)如图2，AB=AC时，DF与EF的关系是否改变？如果不变请证明；如果改变请写出新的关系并证明；(3)如图3，△ABC为任意的锐角三角形，当EC=1时直接写出DF长度的取值范围．
参考答案及解析1.答案：D解析：解：点P(2,-5)关于y轴的对称点的坐标是：(-2,-5)．故选：D．熟悉：平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴的对称点的坐标是(-x,y)．此题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．2.答案：B解析：解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴EB=AC，根据三角形的三边关系定理：8-5<AE<8+5，∴1.5<AD<6.5，故选：B．延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中线等知识点的理解和掌握，能推出8-5<2AD<8+5是解此题的关键．3.答案：D解析：解：∵∠3+∠4=180°，∴A、O、B、C四点共圆，(1)正确；作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：则∠CDA=∠CEB=90°，∵∠1=∠2，∴CD=CE，∵∠3+∠4=180°，∠3+∠CAD=180°，∴∠CAD=∠4，在△ACD和△BCE中，∠CAD=∠4∠CDA=∠CEBCD=CE,∴△ACD≌△BCE(AAS)，∴AD=BE，AC=BC，(2)正确；∵cos∠1=ODOC=a+ADc，cos∠2=OEOC=b-BEc，∴cos∠1+cos∠2=a+ADc+b-BEc=a+AD+b-BEc=a+bc，∵∠1=∠2，∴cos∠1=cos∠2，∴2cos∠1=a+bc，∴cos∠1=a+b2c，(3)正确；∵CD=CE，sin∠1=CDc，∴CD=c×sin∠1，∴S四边形AOBC=S△OAC+S△BOC=12a×CD+12b×CE=12(a+b)CD=12(a+b)×c×sin∠1=(a+b)⋅csin∠12，(4)正确；正确的结论有4个，故选：D．
由圆内接四边形的判定定理得出A、O、B、C四点共圆，(1)正确；作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，由角平分线的性质得出CD=CE，证出∠CAD=∠4，由AAS证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AC=BC，(2)正确；由三角函数定义得出cos∠1+cos∠2=a+ADc+b-BEc=a+bc，即可得出(3)正确；由三角形面积公式和三角函数得出S四边形AOBC=(a+b)⋅csin∠12，(4)正确；即可得出结论．本题是四点共圆综合题目，考查了圆内接四边形的判定定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．4.答案：C解析：解：A、(a+2b)2=a2+4ab+4b2，故错误；B、a8÷a2=a6，故错误；C、正确；D、a3⋅a2=a5，故错误；故选：C．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5.答案：C解析：解：A、ba≠b+1a+1，故A不成立．B、2a+12b+1≠ab，故B不成立．C、a2-1a+1=(a+1)(a-1)a+1=a-1，故C成立．D、ba+bc=bcac+abac=bc+abac，故D不成立．故选：C．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6.答案：D解析：本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
A.先判断是否为同类项，再运算；B.运用完全平方公式运算即可；C.运用幂的乘方与积的乘方运算法则；D.运用单项式乘单项式的运算法则．解：A.a6与a2不是同类项，不能合并，所以此选项错误；B.(a+b)2=a2+2ab+b2，所以此选项错误；C.(2ab3)2=4a2b6，所以此选项错误；D.3a⋅2a=6a2，所以此选项正确．故选：D． 7.答案：A解析：解：0.00000012=1.2×10-7．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．8.答案：C解析：解：∵点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且△ABE≌△CBF，∴∠1=∠CFB，∵∠CFB+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°，故选：C．根据正方形的性质和全等三角形的性质即可求解．本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，本题的解题关键是由全等得出∠1=∠CFB即可得出答案．9.答案：B解析：解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选：B．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10.答案：C解析：解：3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)(x-1)(a-b)，∵x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1分别对应：凰，爱，我，数，学，凤，∴结果呈现的密码信息可能是：我爱凤凰．故选：C．把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，看对应的字即可．本题是因式分解的综合应用，需要先提公因式，再用公式分解因式．11.答案：B解析：解：设这种大米的原价是每千克x元，根据题意，得100x+120(1-20%)x=50，故选：B．设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了50kg列出方程，求解即可．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.答案：A解析：解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD，∴∠EAD=3∠BAC-360°=3×150°-360°=90°，∴DE>AD，故选项A符合题意，∴∠ABE=∠CAD=12(360°-90°-150°)=60°，∴△ABE，△ADC都是等边三角形，∴AC=CD，AB=BE，故选项B，C不符合题意，由翻折的性质得，BD=BC，EC=BC，∴BD=EC，故选项D不符合题意，故选：A．
根据轴对称的性质，全等三角形的性质一一判断即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．13.答案：(x+2)(x-2)解析：解：原式=(x+2)(x-2)，故答案为：(x+2)(x-2)原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14.答案：-2解析：解：由题可得，|a|-2=02-a≠0，解得a=±2a≠2，∴a=-2，故答案为：-2．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．本题主要考查了分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．15.答案：70°解析：解：∵AB//CD，∠D=75°，∴∠BAD=180°-75°=105°．∵∠CAD：∠BAC=2：1，∴∠CAD=23∠BAD=23×105°=70°．故答案为：70°．先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再由∠CAD：∠BAC=2：1即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．16.答案：30解析：解：∵AB//CD，∠EAB=60°，∴∠ECD=60°，∵BC平分∠ECD，
∴∠BCD=12×60°=30°．故答案为30．根据AB//CD，判断出∠EAB=∠ECD，再根据BC平分∠ECD求出∠BCD的度数．本题考查了平行线的性质，找到同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．17.答案：6-2+1解析：解：∵3+5-3-5=6+252-6-252=5+12-5-12=2，∴a的小数部分=2-1；∵6+33-6-33=12+632-12-632=3+32-3-32=6，∴b的小数部分=6-2，∴2b-1a=26-2-12-1=6+2-2-1=6-2+1．故答案为：6-2+1．首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．18.答案：-8xy4解析：解：(-2xy2)3÷(x2y2)=-8x3y6÷(x2y2)=-8xy4，故答案为-8xy4．先按照积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，然后再按照整式的除法法则计算即可．本题考查了整式的除法法则以及积的乘方法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单，易于掌握．19.答案：13解析：解：如图：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×10×AD=40，解得：AD=8(cm)，∵EF是AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短，即(BM+MD)+BD=AD+12BC=8+5=13(cm)．故答案为13．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是边BC的中点，故AD⊥BC，再根据三角形面积公式求出AD的长，再根据EF是AB的垂直平分线可知，点B关于EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形的三线合一性质是解答此题的关键．20.答案：374解析：解：∵AB=BC=4，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC=4，过点B作∠ABF=∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，如图所示：则AN=CN=2，BN=32AB=23，
在△ABF和△CBE中，∠ABF=∠CBEAB=BC∠BAF=∠BCE，∴△ABF≌△CBE(ASA)，∴AF=CE=1，∴CF=3，FE=AC-AF-CE=4-1-1=2，FN=EN=12EF=1，∴BF=BE，BF=BN2+FN2=(23)2+12=13，∴∠BFE=∠BEF，∵∠ABD+∠BCD=180°，∴∠ABD=∠CBD+∠CDB，∵∠ABD=∠ABF+∠FBE=∠CBD+∠FBE，∴∠FBE=∠CDB，∴BF//CD，∴△FEB∽△CED，∴BFCD=BEDE=FECE=21，∴CD=12BF=132，连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，∴DM=DF，∵H为BD的中点，∴CH是△BDM的中位线，∴CH=12DM=12DF，∵BF//CD，∴∠DCE=∠BFE，∵∠BEF=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC，∴DC=DE=132，作DG⊥AC于G，∴CG=EG=12CE=12，
∴FG=EF+EG=52，DG=CD2-CG2=(132)2-(12)2=3，∴DF=FG2+DG2=(52)2+(3)2=372，∴CH=12DF=374；故答案为：374．证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC=4，过点B作∠ABF=∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，则AN=CN=2，BN=32AB=23，证明△ABF≌△CBE(ASA)，得出AF=CE=1，求出CF=3，FE=AC-AF-CE=2，FN=EN=12EF=1，得出BF=BE，得出∠BFE=∠BEF，证出BF//CD，得出△FEB∽△CED，得出BFCD=BEDE=FECE=21，求出CD=12BF=132，连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，得出DM=DF，证明CH是△BDM的中位线，得出CH=12DM=12DF，证明DC=DE，作DG⊥AC于G，的CG=EG=12CE=12，得出FG=EF+EG=52，由勾股定理得出DG=CD2-CG2=3，DF=FG2+DG2=372，即可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．21.答案：(1)原式= ；(2)原式= ；(3)原式=
；(4)原式= =4．解析：本题主要考查了因式分解以及因式分解的应用．(1)本题首先采用一、三分组，把利用完全平方公式分解，组与组之间再用平方差公式分解．原式= ；(2)首先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．原式= ；(3)首先利用提取公因式法提取公因式a，再利用完全平方公式分解．原式= ；
(4)首先把原式化为完全平方式的形式，再利用完全平方公式分解，最后再作有理数的运算即可解答．原式= =4．22.答案：解：∵A=(9x2-2x+7)-2(x2+3x-2)，=9x2-2x+7-2x2-6x+4，=7x2-8x+11，∴2A+B=2(7x2-8x+11)+(x2+3x-2)，=14x2-16x+22+x2+3x-2，=15x2-13x+20．解析：根据题意得：A=(9x2-2x+7)-2(x2+3x-2)，求出A的值，代入后求出即可．23.答案：证明：∵AB=AC，BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC ∠A=∠AAB=AC ，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴BD=CE．解析：欲证BD=CE，先证明△ABD≌△ACE或证△BCE≌△CBD，再根据三角形全等的性质得出结论．考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24.答案：解：(1)当a=2-1时，∴原式=2(a2-3)-a2+6a+6
=a2+6a=42-3 (2)x2+(x-1)(x+1)=2x(x+1)x2+x2-1=2x2+2xx=-12经检验：x=-12是原方程的解解析：(1)根据整式的运算法则即可求出答案．(2)根据分式方程的解法即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．25.答案：解：原式=1+4-3×33-2=5-3-2=3-3．解析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．26.答案：解：(1)设苹果进价为每千克x元，根据题意得：400x+10%x(3000x-400)=2100，解得：x=5，经检验x=5是原方程的解，答：苹果进价为每千克5元．(2)由(1)得，每个超市苹果总量为：30005=600(千克)，大、小苹果售价分别为10元和5.5元，则乙超市获利600×(10+5.52-5)=1650(元)，∵甲超市获利2100元，∵2100>1650，∴将苹果按大小分类包装销售，更合算．解析：(1)先设苹果进价为每千克x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
(2)根据(1)求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．27.答案：DF=3EF DF⊥EF解析：解：(1)①结论：DF⊥EF，DF=3EF．理由：如图1中，取AB，AC的中点M，N，连接DN，FN，FM，ME．∵BF=CF，BN=AN，AM=CM，∴FN//AC，FM//AB，FN=AM=FM=AN，∵△ABD是等边三角形，BN=AN，∴DN⊥AB，DN=3AN=3FN，∵EA=EC，AM=CM，∠AEC=120°，∴EM⊥AC，∠AEM=∠CEM=60°，∴AM=3EM=FM，∴DNFN=FMEM，∴DNFM=FNEM，∵∠DNF=∠EMF=150°，∴△DNF∽△FME，∴DFEF=DNFM=3，∠DFN=∠MEF，∴DF=3EF，∵∠MFE+∠MEF=30°，∴∠DFN+∠MFE=30°，∵∠MFN=∠BAC=60°，
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．故答案为DF=3EF，DF⊥EF．②如图2中，作DM⊥CB延长线于点M．∴∠DMB=90°，∵△ABC为等边三角形，等边△ABD，∴∠ABC=∠ABD=60°，BD=AB=BC=2，∴BF=1，∴Rt△BDM中，MB=1，DM=3，∴Rt△BDF中，DF=7．(2)分别取AB、AC中点G、H，分别连接DG，FG，EH，FH．∴FH//AB，FH=AG=12AB，FG//AC，FG=AH=12AC，∴∠FHC=∠BAC=∠FGB，∵AB=AC，∴四边形AGFH为菱形，∵等边△ABD，△ACE中AE=CE，∴DG⊥AB，HE⊥AC，∴∠FGD=∠FGB+∠DGB=∠FHC+∠CHE=∠FHE，
∵等边△ABD中，AB中点G，∴DG=3GF，∵△ACE中AE=CE，∠AEC=120°，∴HF=3HE，∴△DFG∽△FEH，∴DF=3FE，∠EFH=∠GDF，∵∠GFD+∠GDF+∠BGF+∠BGD=180°，其中∠BGD=90°，∠BGF=∠GFH，∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．(3)由(1)(2)可以得出结论：DF=3EF，∵△ABC是锐角三角形，∴当∠ACB=90°时，EF=2⋅CF⋅cos60°=3，此时DF=3，当△ECF是等边三角形时，可以证明∠BAC=90°，此时EF=CF=1，DF=3，观察图象可知：3<DF<3．(1)①结论：DF⊥EF，DF=3EF.如图1中，取AB，AC的中点M，N，连接DN，FN，FM，ME.证明△DNF∽△FME可得结论．②如图2中，作DM⊥CB延长线于点M.解直角三角形求出DM，MF即可解决问题．(2)分别取AB、AC中点G、H，分别连接DG，FG，EH，FH.证明△DFG∽△FEH(SAS)可得结论．(3)由(1)(2)可以得出结论：DF=3EF，求出EF的最大值，最小值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
