2020-2021学年南阳市淅川县老城八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.数：-511，0.123456…，0．2⋅，0，7，π，327，5.121212中，无理数的个数是( )A.1B.2C.3D.42.下列各组数中，以它们为边的三角形是直角三角形的是( )A.1，2，3B.9，16，25C.12，15，20D.1，2，53.已知三角形两边长分别是4和9，则下列数据中不能作为第三边长的是( )A.6B.8C.10D.144.如图，已知△ABC，AB=AC，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABD≌△ACD的是( )A.BD=CDB.∠BAD=∠CADC.∠B=∠CD.∠ADB=∠ADC5.下列因式分解中，正确的个数为( )①x3+2xy+x=x(x2+2y)；②x2+4x+4=(x+2)2；③-x2+y2=(x+y)(x-y)A.3个B.2个C.1个D.0个6.A校女生占全校总人数的40%，B校女生占全校总人数的55%，则女生人数( )A.A校多于B校B.A校与B校一样多C.A校少于B校D.不能确定7.l米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的小棒长为( )米．A.112B.132C.164D.11288.如图，直线y=12x+1分别与x轴、y轴交于点M，N，一组线段A1C1，A2C2，A3C3，…AnCn的端点A1，A2，A3，…An依次是直线MN上的点，这组线段分别垂直平分线段OB1，B1B2，B2，B3，…，Bn-1Bn，若OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=4，则点An到x轴的距离为( ),A.4n-4B.4n-2C.2nD.2n-29.已知命题A：“任何等腰三角形的底边长大于腰长.”下列三边长度可以作为“命题A是假命题”的反例是( )A.3，4，5B.8，7，7C.5，5，10D.5，8，810.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边Oc在x轴上，边OA在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的4倍，那么点B'的坐标是( )A.(2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)或(-4,-2)D.(2,4)或(-2,-4)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算(-xy3)2=______．12.某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩(成绩均为整数)整理后，列出表格：分组50～59分60～69分70～79分80～89分90～99分频率0.040.040.160.340.42(1)本次测试90分以上的人数有______人；(包括90分)(2)本次测试这50名学生成绩的及格率是______；(60分以上为及格，包括60分)(3)这个年级此学科的学习情况如何？请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上______．A.好B.一般C.不好13.若x，y互为相反数，则多项式x2-y2的值为______．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是三角形的角平分线，交AC于点D，AD=3cm，AC=5cm，则点D到AB边的距离是______cm．,15.如图，已知DB平分∠ADE，DE//AB，∠CDE=82°，则∠ABD=______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.计算：(1)32-312+2(2)(-3)2+3-8+|1-2|(3)(23-1)(23+1)-(3-1)217.已知x是1的平方根，求(x2012-1)(x2012-15)(x2011+1)(x2011+15)+1000x的立方根．18.如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，长方形对角线为c.一只蚂蚁从A点爬形到C点．(1)求蚂蚁爬形的最短路线长(只能按箭头所示的三条路线走)，并说明理由；(2)如果把右边的正方形EFBC沿EF翻转90°得到如图2所示的正方体相邻的两个面(实线表示)，则蚂蚁从A点到C点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．(可测量猜想判断)19.尚志市某中学为了了解学生的课余生活情况，学校决定围绕“A：欣赏音乐、B：体育运动、C：读课外书、D：其他活动中，你最喜欢的课余生活种类是什么？(只写一类),“的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢欣赏音乐的学生占被抽取学生的10%，请你根据以上信息解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽取了多少名学生？(2)通过计算，补余条形统计图；(3)已知该校有学生2400人，请根据调查结果估计该校喜欢体育运动的学生有多少名？20.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．(1)如图1，若CD⊥AB，求证：CD2=AD⋅DB；(2)如图2，若AC=BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且FHHE=49，求ADBD的值；(3)如图3，若AC=BC，点H在CD上，且∠AHD=45°，CH=3DH，直接写出tan∠ACH的值为______．21.已知a=2+5，b=2-5，求a2+ab+b2的值．22.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．,如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．(1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)(2)如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．23.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连接AE，DC.求证：△ABE≌△CBD,参考答案及解析1.答案：B解析：解：7，π是无理数，故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：D解析：解：A、12+22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C.122+152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；D.∵12+22=(5)2，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．3.答案：D解析：解：设这个三角形的第三边为x．根据三角形的三边关系定理，得：9-4<x<9+4，解得5<x<13．故选：d．首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差<第三边．,4.答案：C解析：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.全等三角形的判定定理有SAS，ASA，SSS，AAS，直角三角形还有HL，根据定理逐个判断即可．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．解：因为AB=AC，AD=AD，A、根据SSS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；B、根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；D、根据∠ADB=∠ADC可得∠ADB=∠ADC=90°，然后根据HL即可推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；故选C． 5.答案：C解析：本题考查因式分解，属于基础题．直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．解：①x3+2xy+x=x(x2+2y+1)，故原题错误；②x2+4x+4=(x+2)2；正确；③-x2+y2=(x+y)(y-x)，故原题错误；故正确的有1个．故选C． 6.答案：D解析：解：因不知道A，B校的总人数，所以无法确定女生人数的多少．故选D．根据频率是频数与数据总和的比，可得答案．本题考查了频数与频率，要分类讨论，以防遗漏．7.答案：B,解析：解：根据题意知第5次后剩下的小棒长为(12)5=132，故选：B．根据题意列出算式，计算即可得到结果．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．8.答案：C解析：解：令x=0，则有y=1；令y=0，则有12x+1=0，解得：x=-2．故点M(-2,0)，点N(0,1)．∵一组线段A1C1，A2C2，A3C3，…AnCn分别垂直平分线段OB1，B1B2，B2，B3，…，Bn-1Bn，且OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=4，∴OC1=2，OC2=4+2，OC3=4×2+2，…，OCn=4×(n-1)+2，∴MC1=4，MC2=4+4，MC3=4×2+4，…，MCn=4×(n-1)+4=4n．∵AnCn//y轴，∴△MNO∽△MAnCn，∴AnCnNO=MCnMO．∵NO=1，MO=2，∴AnCn=MCn⋅NOMO=2n．故选C．由直线解析式可以找出M、N点坐标，即得出NO、MO的长度，再由已知得出OC1，OC2，OC3，…，OCn这组线段的长度，依据三角形相似的性质可得出结论．本题考查了坐标系上点的特征依据相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出OC1，OC2，OC3，…，OCn这组线段的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题的技巧是选找到线段长度的规律．9.答案：D解析：解：A、三边分别为3，4，5的三角形不是等腰三角形，不符合题意；B、三边分别为8，7，7的三角形可以说明“命题A是真命题”，不符合题意；C、长为5，5，10的三条线段不能组成三角形，不符合题意；,D、三边分别为5，8，8的三角形可以说明“命题A是假命题”，符合题意；故选：D．根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系、假命题的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10.答案：D解析：解：∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的4倍，∴两矩形面积的相似比为2：1，∵B的坐标是(1,2)，∴点B'的坐标是：(2,4)或(-2,-4)．故选：D．利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．本题考查了位似变换的性质，掌握位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．11.答案：x2y6解析：解：(-xy3)2=x2y6．故答案为：x2y6．直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则计算，进而化简求出答案．此题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．12.答案：21 96% A解析：解：(1)50×0.42=21(人)故答案为：21(2)0.04+0.16+0.34+0.42=0.96=96%故答案为：96%(3)由于该班及格率高，优秀人数多，所以这个年级此学科的学习情况好．故选：A．,(1)根据：频率=频数总数×100%，代入求值即可；(2)根据：及格率=及格人数总人数×100%=及格以上频率的和，求值即可；(3)从及格率、优秀率等几个方面做出判断即可．本题考查了频数、频率、总数间关系．掌握频率、及格率的求法是解决本题的关键．13.答案：0解析：解：∵x，y互为相反数，∴x+y=0，∴x2-y2=(x+y)⋅(x-y)=0×(x-y)=0．故答案为0．由x，y互为相反数，可得x+y=0，x2-y2=(x+y)(x-y)=0本题考查了分解因式的运用，正确运用平方差公式分解因式是解题的关键．14.答案：2解析：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD=3cm，AC=5cm，∴CD=AC-AD=5-3=2cm，∵∠C=90°，BD是三角形的角平分线，∴DE=CD=2cm，即点D到AB边的距离是2cm．故答案为：2．过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．15.答案：49°解析：解：∵∠CDE=82°，∴∠ADE=180°-∠CDE=180°-82°=98°，而DB平分∠ADE，∴∠BDE=12∠ADE=12×98°=49°，∵DE//AB，∴∠ABD=∠BDE=49°．,故答案为49°．根据邻补角的定义得到∠ADE=180°-∠CDE=180°-82°=98°，再根据角平分线的定义有∠BDE=12∠ADE=12×98°=49°，由DE//AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABD=∠BDE=49°．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了角平分线的定义和邻补角的定义．16.答案：解：(1)原式=42-322+2=722；(2)原式=3-2+2-1=2；(3)原式=(23)2-1-(3-23+1)=12-1-3+23-1=7+23．解析：(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；(2)分别根据算术平方根、立方根以及绝对值的定义化简计算即可；(3)先分别根据平方差公式以及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可．本题主要考查了实数的混合运算，熟记二次根式的性质、平方差公式以及完全平方公式是解答本题的关键．17.答案：解：因为x是1的平方根，所以x=±1．设M=(x2012-1)(x2012-15)(x2011+1)(x2011+15)+1000x，当x=1时，M=(1-1)(1-15)(1+1)(1+15)+1000，=0+1000，=1000，=103，故M的立方根是10；当x=-1时，M=(1-1)(1-15)(-1+1)(-1+15)-1000，=0-1000，=-1000，=-103，,故M的立方根是：-10；所以(x2012-1)(x2012-15)(x2011+1)(x2011+15)+1000x的立方根是10或-10．解析：直接利用平方根的定义结合立方根的定义分别分析得出答案．此题主要考查了立方根、平方根，正确掌握相关定义是解题关键．18.答案：解：(1)从A-B-C路线长：a+a+a=3a，从A-D-C路线长：a+a+a=3a，从A-E-C路线长：a+b.(3分)根据两点之间，线段最短．可得AD+DE>AE，即a+a>b，(6分)所以a+a+a>a+b，即3a>a+b(7分)(说明：只要写出理由“两点之间，线段最短”即给6分)故从A到C的最短路线长为a+b；(8分)(2)从A到C的最短路线长为C，(10分)图中的点M为线段EF的中点．(11分)位置如图．(13分)解析：(1)根据两点之间线段最短求解；(2)把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线．本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解．19.答案：解：(1)20÷10%=200．答：这次调查中一共抽取了200名学生；(2)200-20-80-40=60(名)．补全条形图如下：,(3)2400×80200=960(名)．答：根据调查结果估计该校喜欢体育运动的学生有960名．解析：(1)根据喜欢欣赏音乐的学生占被抽取学生的10%，即可求出调查总人数；(2)根据(1)中所求出的总人数减去喜欢A，B，D课余生活种类的人数，得出喜欢C的人数，即可补全条形图；(3)用全校总学生数乘以最喜欢B种课余生活的学生所占的百分比，即可求出答案．本题考查的是条形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20.答案：77解析：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴△CBD∽△ACD，∴CD：AD=BD：CD，∴CD2=AD⋅DB；(2)解：∵FHHE=49，∴设FH=4a，则HE=9a(a>0)，∵∠ACB=90°，EF⊥CD，∴同(1)得：CH2=HE⋅FH=9a×4a=36a2，∴CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=FHCH=4a6a=23，过D作DP⊥AC于P，如图2所示：则DP//BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD=DPPC=23，∵AC=BC，∠ACB=90°，,∴∠A=45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴AP=DP，∴APPC=DPPC=23，∵DP//BC，∴ADBD=APPC=23；(3)解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：∵CH=3DH，∴设DH=2x，则CH=6x(x>0)，∴CD=DH+CH=8x，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°=∠AHD，又∵∠ADH=∠CDA，∴△ADH∽△CDA，∴∠DAH=∠ACH，AD：CD=DH：AD，∴AD2=DH⋅CD=16x2，∴AD=4x，∵DM⊥AH，∠AHD=45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴DM=HM=22DH=2x，∴AM=AD2-DM2=(4x)2-(2x)2=14x，∴tan∠ACH=tan∠DAH=DMAM=2x14x=77；故答案为：77．(1)证出∠B=∠ACD，证明△CBD∽△ACD，得出CD：AD=BD：CD，即可得出结论；(2)设FH=4a，则HE=9a(a>0)，同(1)得CH2=HE⋅FH=36a2，则CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=FHCH=23，过D作DP⊥AC于P，则DP//BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD=DPPC=23，周长△ADP是等腰直角三角形，得出AP=DP，求出APPC=DPPC=23，由平行线分线段成比例定理即可得出答案；,(3)过点D作DM⊥AH于M，设DH=2x，则CH=6x(x>0)，CD=DH+CH=8x，证明△ADH∽△CDA，得出∠DAH=∠ACH，AD：CD=DH：AD，求出AD=4x，证明△ADM是等腰直角三角形，得出DM=HM=22DH=2x，由勾股定理得出AM=14x，由三角函数定义即可得出答案．本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．21.答案：解：a2+ab+b2=(a+b)2-ab，∴a=2+5，b=2-5，∴a+b=4，ab=(2+5)(2-5)=1，∴原式=42-1=15．解析：本题考查了整式利用配方法及整体代入法求值．先根据a与b的值得到a+b与ab的值，然后用a+b与ab表示a2+ab+b2，再利用整体代入的方法计算即可．22.答案：解：(1)作图如图1、图2所示：在图1中，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=45°，∴∠ADC=90°；∵AB=AC，∠A=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°，∴∠ECD=67.5°-45°=22.5°，∵DE=CE，∴∠EDC=∠ECD=22.5°，∴∠DEC=135°，∴∠BED=45°，即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；在图2中，∵AD=DE，∴∠DEA=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∠DEC=135°；∵BC=DC，,∴∠CDB=∠B=67.5°，∴∠BCD=45°，即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；(2)如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=(x+y)：2，解方程组x:y=2:32:x=(x+y):2，解得x=2105y=3105，或x=-2105y=-3105 (负值舍去)，∴AE=2105，CD=3105，即三分线长分别是3105和2105．解析：(1)根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；(2)根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程组，解方程组即可．本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；本题综合性强，有一定难度．23.答案：证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°．在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，∴△ABE≌△CBD；解析：利用SAS证明三角形全等即可得证；,此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解本题的关键．</x<9+4，解得5<x<13．故选：d．首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和>
