2020-2021学年秦皇岛市卢龙县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）1.下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是( )A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个2.用四舍五入法对数据6.21496按括号中的要求分别取近似值，其中正确的是( )A.6.21(精确到0.01)B.6.214(精确到百分位)C.6.21(精确到十分位)D.6.2149(精确到0.0001)3.要使分式1x-1有意义，则x的取值应满足( )A.x=0B.x=1C.x≠0D.x≠14.下列食品商标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.5.若x-1+x+y=0，则xy的值为( )A.0B.1C.-1D.26.下列各运算中，计算正确的是( )A.8-2=2B.(-2x2y)3=-8x5y3C.(-5)0=0D.a6÷a3=a27.如果(x-3)2+x=3，那么x的值可能为( )A.6B.4C.2D.88.如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以
E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，那么AD为所作，则说明∠CAD=∠BAD的依据是( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS9.若等腰△ABC的周长是50cm，一腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是( )A.y=50-2x(0<x<50)B.y=12(50-2x)(0<x<50)C.y=50-2x(252<x<25)D.y=12(50-2x)(252<x<25)10.某学校号召同学们为灾区学生自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是( )A.4800x=5000x-20B.4800x=5000x+20C.4800x-20=5000xD.4800x+20=5000x11.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是( )A.r=125B.r>125C.3<r<4D.125<r≤312.如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD上，连接BE，BG交CE于点H.连接FH.若FH平分∠EFG，则下列结论：①AE+CH=EH：②∠DEC=2∠ABE：③BH=HG；④CH=2AB.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD=4.若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为( )
A.8.5B.15C.17D.3414.如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上， EC的延长线交AP于M，连BM，下列结论：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④AM+MC=BM。其中正确的结论有( )个。A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）15.-(-5)2=_______；64的算术平方根是_______；|2-5|=________；10的小数部分是_________．16.π的相反数是______，-2的绝对值是______，2的平方根是______．17.数轴上，表示-3的点与表示33的点之间的距离是______．18.计算：22-18=______．19.如果等腰△ABC中，AB=AC=3，cos∠B=13，那么cos∠A=______．20.如图，点A，B，C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，有4个结论：①△ABE≌△DBC，②△DQB≌△APB，③∠EAC=30°，④∠AMC=120°，请将所有正确结论的序号填在横线上______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）21.由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以10海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。(1)通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？(2)若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）22.计算：(1)2a4 a+1a-2a1a3(2)26x7÷4x33÷12x2．23.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF//AC，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF.求证：DE=DF．
24.计算与化简：(1)-(-a)2⋅(-a)5⋅(-a)3(2)(a+2b)2-(a-2b)(a+2b)-4ab(3)(x4y+6x3y2-x2y2)÷(3x2y)(4)1-(a+1a-1)2÷a2-a+1a2-2a+1．25.如图①，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6.动点P、Q分别从点D、A同时出发向点C、B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动的时间为t(s)(1)当t=2时，PQ的长为______；(2)在运动过程中，若△BPQ为等腰三角形，求相应的时刻t；(3)如图②，连接BD，是否存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD？若能，求t的值；若不能，说明理由．26.如图，等腰△ABC中，AB=AC，M为AB的中点，延长CB至N，使NB=BC，AN与CM交于点P(1)求ANPN的值；(2)求证：AP2=PM⋅PC；(3)如果AN=6，直接写出CM的长
参考答案及解析1.答案：B解析：本题主要考查了命题的真假判断，互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立；②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立；③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立．故选B． 2.答案：A解析：解：6.21496≈6.21(精确到0.01)；6.21496≈6.21(精确到百分位)；6.21496≈6.2(精确到十分位)；6.21496≈6.2150(精确到0.0001)．故选：A．利用近似数的精确度对各选项进行判断．本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．3.答案：D解析：解：由题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故选：D．根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解即可．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．4.答案：A解析：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5.答案：C解析：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，由此得到x-1=0，x+y=0，然后即可求解．解：∵x-1+x+y=0，∴x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以xy=-1．故选C． 6.答案：A解析：解：A、8-2=22-2=2，故本选项正确；B、(-2x2y)3=-8x6y3，故本选项错误；C、(-5)0=1，故本选项错误；D、a6÷a3=a3，故本选项错误．故选A．分别根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂的知识进行计算，然后判断各选项即可．
本题考查二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂的知识点，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵(x-3)2+x=3，∴(x-3)2=3-x=-(x-3)，∴x-3≤0，解得x≤3，故选：C．将原式变形为(x-3)2=3-x=-(x-3)，利用二次根式的性质得出x的范围，从而从各选项得出答案．本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握a2=|a|．8.答案：A解析：解：根据作图过程可知：AF=AE，DF=DE，又AD=AD，∴△FAD≌△EAD(SSS)，∴∠CAD=∠BAD．故选：A．根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．9.答案：C解析：解：依题意，y=50-2x根据三角形的三边关系得，x+x>y=50-2x，得x>252x-x<y=50-2x，得x<25得，252<x<25．故y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是：y=50-2x(252<x<25)
故选：C．根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式此题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围．10.答案：B解析：解：设第一次有x人捐款，那么第二次有(x+20)人捐款，由题意得4800x=5000x+20=，故选B如果设第一次有x人捐款，那么第二次有(x+20)人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额=第二次人均捐款额，据此列出方程，求解即可．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11.答案：D解析：解：如图，∵BC>AC，∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，由勾股定理知，AB=AC2+BC2=5．∵S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB=12×3×4=12×5⋅CD，∴CD=125，即R的取值范围是125<r≤3．故选：D．要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC.要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．12.答案：C解析：解：如图，作BM⊥EC于M．
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠MEB，∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，∴△BEA≌△BEM(AAS)，∴AE=EM，AB=BM．∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，∴△BMH≌△GCH(AAS)，∴MH=CH，BH=HG，∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴2∠AEB+2∠ABE=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，∴∠DEC+2∠AEB=180°，∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=45°，∵∠FEH=90°，∴AB=EF=EH，∵EH>HM=CH，∴CH<AB，故④错误．故选：C．
如图，作BM⊥EC于M.证明△BEA≌△BEM(AAS)，△BMH≌△GCH(AAS)，利用全等三角形的性质即可一一判断．本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13.答案：C解析：解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD=4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴12×AB×4+12×AC×4+12×BC×4=34，∴AB+AC+BC=17，即△ABC的周长为17．故选：C．根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到12×AB×4+12×AC×4+12×BC×4=34，然后计算出AB+AC+BC即可．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了等腰三角形的判定与性质．14.答案：D解析：证明：①在△APB和△CEB中AB=BC∠ABP=∠CBEBP=BE∴△APB≌△CEB (SAS)，∴①AP=CE，故此选项正确；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB=∠CEB，∵∠MCP=∠BCE，则∠PME=∠PBE=60゜，故此选项正确；③作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，在△BNP和△BFE中∠BNP=∠BFE∠NPB=∠FEBPB=EB∴△BNP≌△BFE(AAS)，∴BN=BF，∴BM平分∠AME，故此选项正确；④在BM上截取BK=CM，连接AK．由②知∠PME=60゜=∠BAC，∴∠MCA=∠MBA，在△ABK和△ACM中AB=AC∠ABK=∠ACMBK=CM，∴△ACM≌△ABK，∴AK=AM，∴△AMK为等边△，故此选项正确；答案为：①②③④．故选D．15.答案：-5;22;5-2;10-3
解析：试题分析：根据算术平方根的定义，及夹逼法，可填空．-(-5)2=-5；64的算术平方根是22；|2-5|=5-2；10的小数部分是10-3．故答案为：-5、22、5-2、10-3．16.答案：-π 2 ±2解析：解：π的相反数是：-π，|-2|=2，即-2绝对值是2，2的平方根是：±2．故答案为：-π，2，±2．结合平方根和绝对值的概念进行求解即可．本题考查了平方根与绝对值的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念．17.答案：43解析：解：数轴上，表示-3的点与表示33的点之间的距离是：33-(-3)=43，故答案为：43．根据数轴上两点间的距离公式计算即可．本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴的概念、无理数的减法法则是解题的关键．18.答案：-2解析：解：22-18=22-32=(2-3)2=-2，故答案为：-2．把18化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．19.答案：79解析：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB=90°∴在△ADC中，cos∠B=BDAB=13，∴BD=13AB=1．∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=DC，∴BC=2，∴AD=AB2-BD2=32-12=22∵12AB⋅CE=12BC⋅AD，∴CE=BC⋅ADAB=2×223=423，∴AE=AC2-CE2=73∴cos∠A=AEAC=733=79，故答案为79． 20.答案：①②④解析：解：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC=120°，∠DBQ=60°，∴在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，∴△ABE≌△DBC(SAS)，故①正确，∴∠EAB=∠CDB，即∠BAP=∠BDQ，
在△DQB和△APB中，∠BDQ=∠BAPBD=BA∠DBQ=∠ABP，∴△DQB≌△APB(ASA)，故②正确，题目中没有说明AP平分∠DAB，故无法推出∠EAC=30°，故③错误，∵∠EAB=∠CDB，∠AMC+∠MAC+∠MCA=180°，∴∠MAC+∠MCA=∠CDB+∠DCB=∠DBA=60°，∴∠AMC=120°，故④正确，故答案为：①②④．根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可以判断各小题是否成立，从而可以解答本题．本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21.答案：(1)如图1，过点A作AC⊥BF于点C，依题意得∠ABC=90°-60°=30°， ∴AC= 12AB= 12×300=150<200， ∴A市必然会受到这次沙尘暴的影响； (2)如图2，以A为圆心，200为半径画弧(或作圆)，交BF于点D、E， 则AD=AE=200 km. ∵AC⊥DE， ∴DC=CE， 在Rt△ADC中， DC= AD2-AC2= 2002-1502=50 7，
∴DE=2DC=100 7， ∴A市受沙尘暴影响的时间= 1007107=10， 所以，A市受沙尘暴影响的时间约为10小时．解析：(1)过点A作AC⊥BF于点C，则∠ABC=90°-60°=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AC=12AB=12×300=150，即A市到沙尘暴移动路线的最短距离为150km，而距沙尘暴中心200km的范围内是受沙尘暴严重影响的区域，由此判断A市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)以A为圆心，200为半径画弧(或作圆)，交BF于点D、E，即沙尘暴在DE段移动对A市都有影响；根据垂径定理得到DC=CE，在Rt△ADC中，AD=200 km，AC=150km，利用勾股定理计算出DC=AD2-AC2=2002-1502，最后根据速度公式求出移动的时间即可．22.答案：解：(1)原式=4aa+1aa-2aa，=3aa；(2)原式=26x7×143x3×22x，=36x3，=6xx．解析：(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；(2)先化简二次根式，再进行二次根式的乘除法进行计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，掌握把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．23.答案：证明：∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠FBC，∵BF//AC，∴∠ACB=∠FBC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴DB=DC，在△CDE和△BDF中，∠C=∠DBFDC=DB∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴DE=DF．解析：证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DB=DC，根据全等三角形的判定定理和性质定理即可得到结论．本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.答案：解：(1)原式=-a2⋅a5⋅a3=-a10；(2)原式=a2+4ab+4b2-(a2-4b2)-4ab=a2+4ab+4b2-a2+4b2-4ab=8b2；(3)原式=13x2+2xy-13y；(4)原式=1-【a(a-1)+1a-1】2⋅(a-1)2a2-a+1=1-(a2-a+1)2(a-1)2⋅(a-1)2a2-a+1=1-(a2-a+1)=-a2+a．解析：(1)首先计算乘方，然后利用同底数的幂的乘法法则即可求得；(2)首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项即可求解；(3)利用多项式和单项式的除法法则计算即可；(4)首先对括号内的分式通分相加，然后计算乘方，把除法转化为乘法，最后进行加法运算即可．本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，理解完全平方公式和平方差公式的运用，熟记公式是解题的关键．25.答案：(1)210；(2)当PQ=PB时，如图①，QH=BH，则t+2t=8，解得，t=83；当PQ=BQ时，(2t-t)2+62=(8-t)2，解得，t=74；当BP=BQ时，
(8-2t)2+62=(8-t)2，方程无解；∴当t=83或74时，△BPQ为等腰三角形；(3)假设PQ垂直平分BD，则QB=QD，PD=PB，在Rt△ADQ中，t2+36=(8-t)2，解得，t=74，在Rt△CPB中，(8-2t)2+36=(2t)2，解得，t=258，∴不存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD．解析：解：(1)如图①，作PH⊥AB于H，由题意得，DP=4，AQ=2，则QH=2，又PH=AD=6，由勾股定理得，PQ=PH2+QH2=210，故答案为：210；(2)见答案；(3)见答案．(1)作PH⊥AB于H，求出QH、PH，根据勾股定理求出PQ；(2)分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可；(3)假设存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD，进行解答，看t是否存在即可．
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和垂直平分线的性质，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．26.答案：解：(1)如图1，作ND//PM交AB延长线于D，则∠DNB=∠MCB，在△MBC与△DBN中∠DNB=∠MCBBN=CB∠DBN=∠MBC，∴△MBC≌△DBN(ASA)，∴BM=BD=AM，∵ND//PM，∴ANPN=ADMD=32；(2)如图2，延长AB至Q，使BQ=AB，连接CQ，在△ANB与△QBC中，AB=BQ∠ABN=∠QBCBN=BC，∴△ANB≌△QBC(SAS)，∴∠BAN=∠Q，∴AP//CQ，设AM=a， 则AB=AC=2a，∴AC2=4a2，∵AQ=4AM=4a，∴AM⋅AQ=4a2，∴AC2=AM⋅AQ，∵∠CAM=∠QAC，∴△ACM∽△AQC，∴∠ACP=∠Q，∵AP//CQ，∴∠PAM=∠Q，∴∠ACP=∠PAM，∵∠APM=∠CPA，
∴△APM∽△CPA，∴APPM=PCAP，∴AP2=PM⋅PC；(3)∵ANPN=32，AN=6，∴PN=4，∴AP=2，∵AP//QC，∴CMPM=MQAM=3，设PM=x，CM=3x，由AP2=PM⋅PC，∴4=x(x+3x)，∴x=1，∴CM=3．解析：(1)如图1，作ND//PM交AB延长线于D，根据全等三角形的性质得到BM=BD=AM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；(2)如图2，延长AB至Q，使BQ=AB，连接CQ，根据全等三角形的性质得到∠BAN=∠Q，设AM=a，则AB=AC=2a，根据相似三角形的性质得到∠ACP=∠Q，根据平行线的性质得到∠PAM=∠Q，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)由ANPN=32，AN=6，得到PN=4，求得AP=2，设PM=x，CM=3x，列方程即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
