2020-2021学年长沙市开福区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列命题中，正确的是( )①相反数等于本身的数只有0； ②倒数等于本身的数只有1；③平方等于本身的数有±1和0； ④绝对值等于本身的数只有0和1．A.只有③B.①和②C.只有①D.③和④2.下列图形中，不是轴对称图形的是( )A.有两个内角相等的三角形B.有一个内角是45°的直角三角形C.有一个内角是30°的直角三角形D.有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形3.若式子a+1-ab有意义，则点P(a,b)在第( )象限．A.一B.二C.三D.四4.下列计算正确的是( )A.a3⋅a3=a5B.(π-3.14)0=1C.(12)-1=-2D.x20÷x2=x105.计算机完成一次基本运算的时间为0.000000001S，用科学记数法可表示为( )A.0.1×10-9SB.0.1×10-8SC.1×10-9SD.1×10-8S6.若整数a使得关于x的分式方程xx+2-1=axx2-4有整数解，且关于y的不等式组2(y+1)<14-y1-a2+y≤y+82的解集为y<4，则所有符合条件的a的取值之积为( )A.-36B.-2C.0D.67.如果将分式3xx+y中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值( )A.不改变B.扩大为原来的20倍C.扩大为原来的10倍D.缩小为原来的1108.下列命题中，错误的是( )A.三角形两边之和大于第三边B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分,D.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形9.如果两条平行线与第三条直线相交，那么一组同旁内角的平分线互相( )A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直10.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( )A.OE=12DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE11.小明、小华两人练习跑步，如果小华先跑10米，则小明跑６秒就可追上小华；如果小华先跑2秒，则小明跑4秒就可追上小华。若设小明的速度为米/秒，小华的速度为米/秒，则下列方程组中正确的是( )A.B.C.D.12.在四边形ABCD中，AC=BD=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为( )A.64B.18C.36D.48二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.分解因式：m3n-2m2n+mn=______．14.计算75-913的结果是______．15.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问最短路线长为______．,16.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.计算(1)(-2)2-|2-2|-2cos45°+(3-π)0；(2)先化简，再求值：(1-1a)⋅aa2-1，其中a=3-1；(3)32-18+18．18.先化简再求值：(2a2-9a2-1)÷a2+3aa2，其中a=3．19.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C'的位置上．(1)求证：△BEF为等腰三角形；(2)若AB=4，AD=8，求△BEF的面积．,20.某校社会活动实践小组的同学们为了解2015年教工小区家庭月平均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下的统计表和直方图月平均用水量x(t)频数(户) 频率 0<x≤5 5="" 60.12="">0，∴a>0，b<0，∴点P(a,b)在第四象限．故选：D．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断所在的象限．,本题考查了点的坐标，二次根式有意义的条件，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号．4.答案：B解析：解：A、错误，a3⋅a3=a6；B、正确，符合零指数幂的运算法则；C、错误，原式=112=2；D、错误，原式=x18．故选B．根据同底数幂的乘法、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法进行逐一计算．解答此题的关键是熟知以下知识：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；不等于0的数的0次幂都等于1；负整数指数等于正整数指数的倒数；同底数的幂相除，底数不变，指数相减．5.答案：C解析：解：0.000000001S，用科学记数法可表示为1×10-9S.故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6.答案：D解析：解：分式方程去分母得：x(x-2)-x2+4=ax，整理得：(a+2)x=4，当a=-1时，x=4；a=-3时，x=-4；a=-4时，x=-2，a=-6时，x=-1；a=0时，x=2；a=2时，x=1，不等式组整理得：y<4y≤a+7，由不等式组解集为y<4，得到a+7≥4，即a≥-3，又x=±2是增根，,则符合题意的a值为-3，-1，2之积为6，故选：D．分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出a的值，代入不等式组，使其解集为y<4即可确定出符合条件的a值．此题考查了分式方程的解，以及解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.答案：A解析：解：原式=3×10x10x+10y=3xx+y，故选：A．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．8.答案：D解析：解：A、三角形的两边之和大于第三边，正确，不符合题意；B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，不符合题意；C、三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分，正确，不符合题意；D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故原命题错误，符合题意，故选：D．利用三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性，难度不大．9.答案：A解析：解：如图所示，AB//CD，MG、MH分别平分∠BGH和∠DHG，∵AB//CD，∴∠BGH+∠DHG=180°．又MG、MH分别平分∠BGH和∠DHG，∴∠1=12∠BGH，∠2=12∠DHG，∴∠1+∠2=90°，∴GM⊥HM，即如果两条平行线与第三条直线相交，那么一组同旁内角的平分线互相垂直．,故选：A．根据两条直线平行，则同旁内角互补和角平分线的定义进行分析．此题综合运用了平行线的性质和角平分线定义．注意：同旁内角的角平分线互相垂直；内错角的角平分线互相平行；同位角的角平分线互相平行．10.答案：D解析：由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB//DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=12DC，OE//DC，∴OE//AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D． 11.答案：A解析：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．根据“小华先跑10米，则小明跑6秒就可追上小华”可得6x=6y+10，“如果小华先跑2秒，则小明跑4秒就可追上小华”可得4x=4y+2y，联立两个方程即可．解：设小明的速度为x米/秒，小华的速度为y米/秒，由题意得：,6x=6y+10，4x=4y+2y.故选A． 12.答案：A解析：本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．解：连接EF、FG、GH、EH，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF//AC，HG//AC，EF=12AC，FG=12BD，∴EF//HG，同理EH//FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC=BD，∴EF=FG，∴平行四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH，∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4(OE2+OH2)=4EH2=4×(12BD)2=4×42=64；故选A． 13.答案：mn(m-1)2,解析：解：原式=mn(m2-2m+1)=mn(m-1)2．故答案为mn(m-1)2．先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：熟练掌握因式分解的方法．14.答案：23解析：解：原式=53-9×33=53-33=23．故答案为：23．原式化简后，合并即可得到结果．此题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.答案：5解析：解：如图1，AC1=62+12=37，如图2，AC1=42+33=5，如图3，AC1=22+52=29，故沿长方体的表面爬到对面顶点C处，只有图2最短，其最短路线长为：5，故答案为：5．分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．16.答案：364解析：解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1+3)个小三角形，图3挖去中间的(1+3+32)个小三角形，…,则图6挖去中间的(1+3+32+33+34+35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，故答案为：364．根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．本题考查的是图形的变化，正确找出图形的变化规律是解题的关键17.答案：解：(1)(-2)2-|2-2|-2cos45°+(3-π)0=4-(2-2)-2×22+1=4-2+2-2+1=3；(2)(1-1a)⋅aa2-1=a-1a⋅a(a+1)(a-1)=1a+1当a=3-1时，原式=13-1+1=33；(3)32-18+18=42-32+24=524．解析：(1)根据乘方的意义、绝对值的定义、特殊角的三角函数值及零指数幂进行计算即可；(2)先通分括号里面，再根据分式的乘法法则计算即可化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题；(3)先根据二次根式的性质化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可．本题考查的是有理数的乘方、绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂的混合运算、分式的化简求值及二次根式的加减，掌握各运算的法则是解答本题的关键．18.答案：解：原式=2a2-9-a2a2⋅a2a2+3a=a2-9a2⋅a2a2+3a=(a+3)(a-3)a2⋅a2a(a+3)=a-3a，,当a=3时，原式=3-33=3-333=1-3．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：解：(1)∵ED//FC，∴∠2=∠1，根据翻折不变性得到∠2=∠BEF，∴∠BEF=∠1，∴BE=BF，∴△BEF是等腰三角形；(2)设AE=x，根据翻折不变性，BE=DE=AD-AE=8-x，在Rt△ABE中，x2+42=(8-x)2，解得：x=3，即AE=3，则DE=5，又∵∠BEF=∠1，∴BE=BF=5，∴CF=3，则S△BEF=S矩形ABCD-S△ABE-S梯形CDEF=4×8-12×3×4-12×(5+3)×4=10．解析：本题主要考查翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定及勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．(1)由ED//FC得∠2=∠1，再根据翻折不变性得到∠2=∠BEF，从而可得∠BEF=∠1，即可得证；(2)设AE=x，根据翻折不变性可知BE=DE=AD-AE=8-x，在Rt△ABE中由勾股定理可得x=3，从而得出AE=3、DE=5、CF=3，最后根据S△BEF=S矩形ABCD-S△ABE-S梯形CDEF可得答案．20.答案：解：(1)调查的总人数是：6÷0.12=50(户)，则m=50×0.24=12，n=50×0.32=16(户)；(2)如图所示：,；(3)1500×(1-0.12-0.24-0.32-0.20)=180(户)．答：估计该小区月平均用水量超过20t的家庭大约有180户．解析：(1)根据第一组的频数是6，对应的频率是0.12，据此即可求得调查的总人数，然后根据频率的意义求得m、n的值；(2)根据(1)的结果即可补全直方图；(3)利用总数1500乘以对应的百分比即可求得．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21.答案：解：由题意得，PA、PB切⊙O于A、B，则点A、B是从点P能看到的月球上最远的点，连接OA，由题意得，OA=1738km，OP=1738+100=1838km，由勾股定理得，PA=OP2-OA2=598km．解析：连接OA，根据切线的性质和勾股定理计算即可．本题考查的是切线的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．22.答案：解：(1)设2月份这种纽荷尔每斤的售价为x元，则1月份这种纽荷尔每斤的售价为(x+4)元，由题意得：600(1-40%)x=600x+4，解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，答：2月份这种纽荷尔每斤的售价为6元；,(2)设纽荷尔进货数量为a斤，总利润为w元，则w=(6-3)a+(20-7)(45-a)=-10a+585，由题意得：45-a≤2a，解得：a≥15，∵w=-10a+585，-10<0，∴w随a的增大而减小，∴a=15时，w最大=-10×15+585=435(元)，则45-a=30，即纽荷尔进货15斤，沃柑进货30斤，才能使这批水果获得最大利润，最大利润为435元．解析：(1)根据题意，列出分式方程，解方程即可；(2)设纽荷尔进货数量为a斤，总利润为w元，先用进货量表示获得的利润，再求函数最大值即可．本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；熟练掌握一次函数的性质，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．23.答案：(1)证明：如图①，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，在Rt△DEB和Rt△DCB中，∠DEB=∠DCB=90°，H为BD的中点，∴EH=12BD，CH=12BD，∴EH=CH；(2)解：∵H为BD的中点，∴BH=12BD，∴BH=EH=CH，∴∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，在△CHB和△EHB中，∠DHC=∠HCB+∠HBC，∠DHE=∠HEB+∠HBE，∴∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，∴∠CHE=2∠CBA，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴∠A+∠CBA=90°，∵∠A=40°，∴∠CBA=50°，,∴∠CHE=100°，∴∠EHF=80°；(3)证明：如图②，连接AH，∵△DAE≌△CEH，∴AE=EH，∠AED=∠EHC=90°，∵HC=HE，DH=12BD，∴AE=ED=EH=DH=CH，∴△DEH是等边三角形，∴∠DEH=∠DHE=60°，∴∠DHC=∠EHC-∠EHD=30°，∠AEH=∠AED+∠DEH=150°，∵AE=EH，DH=CH，∴∠EHA=(180°-∠AEH)÷2=15°，∠HCD=(180°-∠DHC)÷2=75°，∴∠AHC=∠EHC-∠EHA=75°，∴∠AHC=∠ACH=75°，∴AC=AH，∵Q是CH的中点，∴AQ⊥CH，∴∠AQC=90°，∴∠AQC=∠EHC，∴AQ//EH．解析：(1)根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．,(2)先根据等腰三角形的性质得：∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，由三角形外角的性质得：∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，从而有∠CHE=2∠CBA，计算∠CBA=50°，根据平角的定义可得结论；(3)如图②，连接AH，先证明AE=ED=EH=DH=CH，得△DEH是等边三角形，所以∠DHC=30°，∠AEH=150°，再证明AC=AH，根据等腰三角形三线合一可得AQ⊥CH，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论．本题是三角形的综合题，考查全等三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.答案：解：(1)∵a、b满足b-3+|a+1|=0，∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，∴A(-1,0)，B(3,0)，且AB=4，∵M为(-2,m)，且M在第三象限，∴m<0，∴△ABM的面积=12×4×(-m)=-2m；(2)当m=-1时，△ABM的面积为-2×(-1)=2，∵△ABP的面积是△ABM的面积的2倍，∴12⋅AB⋅OP=2×2，12×4×OP=4，OP=2，∴P(0,2)或(0,-2)．解析：(1)根据已知等式得出a+1=0，b-3=0，可得AB的长，根据三角形面积公式求出即可；(2)P点在y轴上，根据面积公式求出即可．本题考查了绝对值、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．25.答案：解：(1)∵AE+CF=4，AE=x，∴CF=4-x，∴S△BEF=S矩形ABCD-S△ABE-S△EDF-S△BCF,=6×4-12×6x-12(4-x)(2+x)-12×4(4-x)=12x2-2x+12，即y=12x2-2x+12；(2)在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=36+x2，在Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2=(4-x)2+(2+x)2=2x2-4x+20，在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2=16+(4-x)2=x2-8x+32，若△BEF为直角三角形，当∠BFE=90°时，BE2=EF2+BF2，即36+x2=2x2-4x+20+x2-8x+32，解得，x1=2，x2=4(不合题意，舍去)；当∠EBF=90°时，EF2=BE2+BF2，即2x2-4x+20=36+x2+x2-8x+32，解得，x=12(不合题意，舍去)；当∠BEF=90°时，BF2=EF2+BE2，x2-8x+32=36+x2+2x2-4x+20，整理，得x2+2x+12=0，△=4-48=-44<0，∴方程无实数根，综上所述，当x=2时，△BEF为直角三角形；(3)y=12x2-2x+12=12(x-2)2+10，根据二次函数的图象和性质可知，当x=2时，y有最小值，∴此时DE=2，CF=2，DF=4，如右图，分别延长EF与BC，交于点N，∵AD//BC，,∴△EDF∽△NCF，∴EDCN=DFCF，即2CN=42，∴CN=1，∴BN=BC+CN=5，∵AD//BC，∴△EDM∽△NBM，∴EDBN=DMBM，∵BD=AB2+AD2=213，∴25=DM213-DM，解得，DM=4137．解析：(1)分别用含x的代数式表示出CF，DF，DE的长，可由式子S△BEF=S矩形ABCD-S△ABE-S△EDF-S△BCF直接求出y与x的函数关系式；(2)分别用含x的代数式表示出BE2，AB2，AE2的值，假设△BEF为直角三角形，分三种情况进行讨论，利用勾股定理可求出x的值；(3)分别延长EF与BC，交于点N，由y与x之间的函数关系式先求出当x=2时，y有最小值，再利用△EDF∽△NCF，求出CN的长，最后利用△EDM∽△NBM，即可求出DM的长．本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据已知条件作出合适的辅助线构造相似三角形．</x≤5>
