哈师大附中2022届高三上学期期末考试数学试题（理科）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则A.B.C.D.2已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为A.B.C.D.3.已知为等差数列的前项和，且，，则的值为A.B.C.D.4.已知，，，则A.B.C.D.5已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是A．内切B．相交C．外切D．相离6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减7.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为A.B.C.D.8.某班共有个小组，每个小组有人报名参加志愿者活动．现从这人中随机选出人作为正式志愿者，则选出的人中至少有人来自同一小组的概率为()A.B.C.D.9.中国航天工业迅速发展,取得了辉煌的成就,使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国。它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A．种B．种C．种D．种10.已知抛物线的焦点，过其准线与轴的交点作直线，若直线与抛物线相切于点，则（）A.B.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（）（1）；（2）存在点满足（3）直线与直线的斜率之积为
（4）若△的面积为，则点的横坐标为A.1B.2C.3D.412.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是A．B．C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13.若，则的值.14.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为.15.直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若这个三棱柱的体积为，则球的表面积为.16.已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若为曲线上的动点，点到直线的距离的最大值为，求的值．18.（本小题12分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从篇古诗词中随机抽篇让学生背诵，规定至少要背出其中篇才能过关，某同学只能背诵其中的篇，试求：（1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；（2）他能过关的概率．19.（本小题12分）已知数列是等差数列，是递增的等比数列，且，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．20.（本小题12分）如图，且，，且，且，，．（1）若为的中点，为的中点，求证：．（2）求二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．21.（本小题12分）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若且，证明：，.22.（本小题12分）如图，已知椭圆：的长轴长为，焦距为，矩形的顶点，在轴上，，在椭圆上，点在第一象限，的延长线交椭圆于点，直线与椭圆，轴分别交于点，，直线交椭圆于点，连接．（1）求椭圆的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）求直线的斜率的最小值． 数学试题（理科）参考答案1.B2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.A9.C10.C11.B12.D13.-114.15.16.17.（1）由得，因为，，所以曲线的直角坐标方程为：．由消去参数，得直线的普通方程为：． （2）由（）可得曲线的参数方程为（为参数）．由点到直线的距离公式，得点到直线的距离．因为，所以，又，所以当时，，得；当时，，得．所以．
18.（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为，，，，且，．，，，，的分布列为数学期望（2）他能过关的概率为．19.（1）设数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，，，可得，，解得，（舍）或，，则，． （2），则20.（1）依题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，，，，，，，，，设为平面的法向量，
则不妨令，可得；又，可得，又因为直线，所以； （2）依题意，可得，，．设为平面的法向量，则不妨令，可得；设为平面的法向量，则不妨令，可得．因此有，于是．所以二面角的正弦值为； （3）设线段的长为，（），则点的坐标为，可得，而为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得．所以线段的长为．21.（1），，
因为，所以，所以或，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）令，则，，故在单调递增，在上单调递减，故，即，欲证：，，即证：，，令，，则，因为，故，所以，在上单调递增，所以，故欲证，，只需证，因为，所以，即，因为，故，故等价于证明：，令，，
则，在上单调递增，故，即，从而结论得证．22.（1）因为椭圆的长轴长为，焦距为，所以，，解得，，所以，所以椭圆的方程为． （2）设，，，，，所以，直线的方程为，令，得，，所以，故为定值． （3）由（）知直线的方程为，将直线与椭圆联立，得，
所以，得，所以，同理，将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，所以，解得，所以，所以当且仅当时，取等号，所以.
