哈师大附中2022届高三上学期期末考试数学试题（理科）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则 A.xx≤0B.x0≤x<2或x>4C.x2≤x≤4D.x0<x≤2或x≥42已知向量a与b的夹角为2π3，∣a∣=2，则a在b方向上的投影为 A.62B.22C.−62D.−223.已知Sn为等差数列an的前n项和，且S3=15，S6=48，则S9的值为 A.63B.81C.99D.1084.已知，，，则A.B.C.D.5已知圆M：x2+y2−2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：x−12+y−12=1的位置关系是 A．内切B．相交C．外切D．相离6.将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间3π4,5π4上单调递增B．在区间3π4,π上单调递减C．在区间5π4,3π2上单调递增D．在区间3π2,2π上单调递减7.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为A.B.C.D.8.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为()A.B.C.D.9.中国航天工业迅速发展,取得了辉煌的成就,使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国。它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A．24种B．48种C．96种D．144种10.已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F，过其准线与x轴的交点E作直线l，若直线l与抛物线相切于点M，则∠EMF=（）A.B.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（）（1）；（2）存在点满足（3）直线与直线的斜率之积为（4）若△的面积为，则点的横坐标为A.1B.2C.3D.412.已知函数，若x=2是函数fx的唯一极值点，则实数k的取值范围是 A．0,2B．2,+∞C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13.若，则的值.14.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为.第4页（共4页）
15.直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若这个三棱柱的体积为，则球的表面积为.16.已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：ρ2=41+3sin2θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=6t−m,y=−3t（t为参数，m∈R）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若M为曲线C上的动点，点M到直线l的距离的最大值为61313，求m的值．18.（本小题12分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从篇古诗词中随机抽篇让学生背诵，规定至少要背出其中篇才能过关，某同学只能背诵其中的篇，试求：（1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；（2）他能过关的概率．19.（本小题12分）已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列，且a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1．（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cn=2anbn−1bn+1−1，求数列cn的前n项和Sn．20.（本小题12分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE．（2）求二面角E−BC−F的正弦值；（3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60∘，求线段DP的长．21.（本小题12分）已知函数fx=x22−ax−1+a−1lnx，a>2．（1）求函数fx的单调区间；（2）若fm=f1且m>1，证明：∀x∈1,m，a−1lnx>x−1.22.（本小题12分）如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，焦距为22，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ，y轴分别交于点F，G，直线CG交椭圆于点H，连接FH．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线AE，CG的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（3）求直线FH的斜率k的最小值．第4页（共4页）
数学试题（理科）参考答案1.B2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.A9.C10.C11.B12.D13.-114.15.16.17.（1）由ρ2=41+3sin2θ得ρ2+3ρsinθ2=4，因为ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，所以曲线C的直角坐标方程为：x24+y2=1．由x=6t−m,y=−3t消去参数t，得直线l的普通方程为：x+23y+m=0． （2）由（1）可得曲线C的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ（φ为参数）．由点到直线的距离公式，得点M到直线l的距离d=2cosφ+23sinφ+m13=4sinφ+π6+m13．因为dmax=61313，所以4sinφ+π6+mmax=6，又4sinφ+π6+m∈m−4,m+4，所以当m≤0时，4−m=6，得m=−2；当m>0时，4+m=6，得m=2．所以m=±2．18.（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为，，，，且，．，，，，的分布列为数学期望（2）他能过关的概率为．19.（1）设数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为qq≠1的等比数列，由a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1，可得2q=21+d，2q2=31+2d−1，解得d=0，q=1（舍）或d=1，q=2，则an=1+n−1=n，bn=2⋅2n−1=2n． （2）cn=2anbn−1bn+1−1=2n2n−12n+1−1=12n−1−12n+1−1，则Sn=1−122−1+122−1−123−1+123−1−124−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1.20.（1）依题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D0,0,0，A2,0,0，B1,2,0，C0,2,0，E2,0,2，F0,1,2，G0,0,2，M0,32,1，N1,0,2，设n0=x,y,z为平面CDE的法向量，则n0⋅DC=2y=0,n0⋅DE=2x+2z=0,不妨令z=−1，可得n0=1,0,−1；又MN=1,−32,1，可得MN⋅n0=0，又因为直线MN⊄平面CDE，所以MN∥平面CDE； （2）依题意，可得BC=−1,0,0，BE=1,−2,2，CF=0,−1,2．设n=x1,y1,z1为平面BCE的法向量，则n⋅BC=−x1=0,n⋅BE=x1−2y1+2z1=0,不妨令z1=1，可得n=0,1,1；设m=x2,y2,z2为平面BCF的法向量，则m⋅BC=−x2=0,m⋅CF=−y2+2z2=0,不妨令z2=1，可得m=0,2,1．因此有cos⟨m,n⟩=m⋅n∣m∣⋅∣n∣=31010，于是sin⟨m,n⟩=1010．所以二面角E−BC−F的正弦值为1010； （3）设线段DP的长为ℎ，（ℎ∈0,2），则点P的坐标为0,0,ℎ，可得BP=−1,−2,ℎ，而DC=0,2,0为平面ADGE的一个法向量，故∣cos⟨BP,DC⟩|=∣BP⋅CD∣∣BP∣⋅∣DC∣=2ℎ2+5，由题意，可得2ℎ2+5=sin60∘=32，解得ℎ=33∈0,2．所以线段DP的长为33．21.（1）fʹx=x−a+a−1x=x−1x−a+1x，x>0，第4页（共4页）
因为a>2，所以a−1>1，所以fʹx>0⇒x>a−1或0<x<1，fʹx<0⇒1<x<a−1，所以fx的单调递增区间为0,1，a−1,+∞，单调递减区间为1,a−1． （2）令ℎx=lnx−x+1，则ℎʹx=1−xx，ℎʹx>0⇒0<x<1，故ℎx在0,1单调递增，在1,+∞上单调递减，故ℎx≤ℎ1=0，即lnx≤x−1，欲证：∀x∈1,m，a−1lnx>x−1，即证：∀x∈1,m，a−1>x−1lnx，令gx=x−1lnx，1<x<m，则gʹx=lnx−1+1xlnx2，因为lnx≤x−1，故lnx−1+1x≥0，所以gʹx>0，gx在1,m上单调递增，所以gx<gm=m−1lnm，故欲证∀x∈1,m，a−1>x−1lnx，只需证a−1>m−1lnm，因为fm=f1，所以m22−am−1+a−1lnm=12，即m−122=a−1m−1−lnm，因为lnm<m−1，故m−1−lnm>0，故等价于证明：lnm>2m−1m+1，令Hx=lnx−2x−1x+1，x>1，则Hʹx=x−12xx+12>0，Hx在1,+∞上单调递增，故Hx>H1=0，即lnx>2x−1x+1，从而结论得证．22.（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为22，所以2a=4，2c=22，解得a=2，c=2，所以b2=a2−c2=2，所以椭圆的方程为x24+y22=1． （2）设Ax0,0，B−x0,0，C−x0,y0，Dx0,y0，E−x0,−y0，所以k1=kAE=−y0−x0−x0=y02x0，直线AE的方程为y=y02x0x−y02，令x=0，得yG=−y02，k2=kCG=y0−−y02−x0−0=−3y02x0，所以k1k2=y02x0−3y02x0=−13，故k1k2为定值−13． （3）由（2）知直线CG的方程为y=−3y02x0x−y02，将直线CG与椭圆联立，得1+9y022x02x2+3y02x0x+12y02−4=0，所以xH+−x0=−3y02x01+9y022x02，得xH=2x02+3y02x02x02+9y02，所以H2x02+3y02x02x02+9y02,−4x02+9y02y02x02+9y02，同理，将直线AE的方程与椭圆的方程联立，可得1+y022x02x2−y02x0x+12y02−4=0，所以−x0+xF=y02x01+y022x02，解得xF=2x02+3y02x02x02+y02，所以F2x02+3y02x02x02+y02,y032x02+y02，所以k=yH−yFxH−xF=−4x02+9y02y02x02+9y02−y022x02+y022x02+3y02x02x02+9y02−2x02+3y022x02+y02=2x02+3y024y02⋅y0x0≥26x02y024y02⋅y0x0=62,当且仅当2x02=3y02时，取等号，所以kmin=62.第4页（共4页）
