2021—2022学年度第一学期期末考试高三数学(文科)试题考试时间：120分钟分值：150一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若(为虚数单位)是纯虚数，则实数()2．已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是()3．若，则()4．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值()ABCD5.若点G是的重心，则( )A.0B.C.D.6.函数f(x)＝cosx－sinx在[0，]上的单调递减区间是( )A.B.C.D.7．下列结论错误的个数是（）(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面10
A.0B.1C.3D.28．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为( )A.B.C.D.9.设命题,,则命题成立是命题成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 11．已知函数lnx+1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是()12.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为)，其中三棱锥的底面是边长为的正三角形，四棱锥的底面是边长为，有一个角为的菱形，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的面积总相等，那么，下列关系式正确的是()，10
，，，，，，Ⅱ非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡的横线上.13.已知球O的半径为1，则球的体积为-------14.x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------15．已知平面向量则=_________.16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点,为的中点.求证：平面；18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且（1）求角A的大小；（2）若，的面积，求的周长.19.（12分）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD10
的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．20．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.(I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.21、已知函数，曲线在处的切线方程为(1)求的值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.10
(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.10
2021—2022学年度第一学期期末考试高三数学(文科)试题答案考试时间：120分钟分值：150一、选择题:ACDABCCBABCAⅡ非选择题（共90分）二、填空题：13.已知球O的半径为1，则球的体积为-------∏14.x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------6.2515、已知平面向量则=_________.-416、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.解析 如图，连接AD1，CD1，则∠D1AC(或其补角)就是异面直线AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝2，CD1＝，由余弦定理得cos∠D1AC＝＝. 三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点,为的中点.求证：平面；证明：∵为的中点,为的中点，∴.又，∴．∵平面,平面，∴面10
18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且（1）求角A的大小；（2）若，的面积，求的周长.解：（1）由已知得（2）由已知及余弦定理得，周长为19.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.(2)解 设EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝，则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，10
即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．20．（本题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.(I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.【答案】(I)；(II)21、已知函数，曲线在处的切线方程为(1)求的值；解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，由题意知解得∴a＝1，b＝3e.(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.解：g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.解 (1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝，得其直角坐标方程为y2＝2x.10
(2)把直线l的参数方程(t为参数)，代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sinα－cosα)－3＝0(*)，设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－.∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为＝－＝0，∴sinα－cosα＝0，即α＝.则(*)变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，∴|AB|＝2.23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.解 (1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.又因为对任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，所以只需2m2－7m≤－3，即2m2－7m＋3≤0，解得≤m≤3，故m的取值范围为.(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是[－1，1)∪{－2}.10
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